Олимпиадные задачи из источника «глава 11. Остатки» для 2-8 класса

Доказать, что остаток от деления простого числа на 30 – простое число или единица.

Через <i>n</i>!! обозначается произведение  <i>n</i>(<i>n</i> – 2)(<i>n</i> – 4)...  до единицы (или до двойки): например,  8!! = 8·6·4·2;  9!! = 9·7·5·3·1.

Докажите, что  1985!! + 1986!!  делится на 1987.

2^<i>n</i> = 10<i>a + b</i>.  Доказать, что если  <i>n</i> > 3,  то <i>ab</i> делится на 6.  (<i>n, a</i> и <i>b</i> – целые числа,  <i>b</i> < 10.)

Докажите, что множество простых чисел вида  <i>p</i> = 6<i>k</i> + 5  бесконечно.

Докажите, что множество простых чисел вида  <i>p</i> = 4<i>k</i> + 3  бесконечно.

Доказать, что в любой бесконечной арифметической прогрессии из натуральных чисел

  a) имеется бесконечно много составных чисел.

  б) имеется или бесконечно много квадратов, или ни одного.

При каких <i>n</i>   <i>n</i>² – 6<i>n</i> – 4  делится на 13?

Доказать, что  <i>n</i>² + 5<i>n</i> + 16  не делится на 169 ни при каком натуральном <i>n</i>.

Может ли  <i>m</i>! + <i>n</i>!  оканчиваться на 1990?

<i>p</i> и <i>q</i> – простые числа, большие 3. Доказать, что  <i>p</i>² – <i>q</i>²  делится на 24.

Доказать, что  <i>a</i>^2<i>n</i>+1 + (<i>a</i> – 1)^<i>n</i>+2  делится на  <i>a</i>² – <i>a</i> + 1  (<i>a</i> – целое, <i>n</i> – натуральное).

Найти   a) 3 последние цифры;   б) 6 последних цифр числа  1⁹⁹⁹ + 2⁹⁹⁹ + ... + (10⁶ – 1)⁹⁹⁹.

<i>m</i> и <i>n</i> взаимно просты, <i>b</i> – произвольное целое число. Доказать, что числа  <i>b,  b + n,  b</i> + 2<i>n,  ...,  b</i> + (<i>n</i> – 1)<i>n</i>  дают все возможные остатки по модулю <i>m</i>.

Доказать, что  3^<i>n</i> + 1  не делится на 10100.

<i>a</i> ≡ 68 (mod 1967),   <i>a</i> ≡ 69 (mod 1968).  Найти остаток от деления <i>a</i> на 14.

В государстве имеют хождение монеты в один золотой и в один грош, причём один золотой составляет 1001 грошей.

Можно ли, имея 1986 золотых, купить без сдачи несколько предметов по 1987 грошей?

Доказать, что <i>n</i>-е простое число больше 3<i>n</i> при  <i>n</i> > 12.

Доказать, что

  а) Степень двойки не может оканчиваться на четыре одинаковых цифры.

  б) Квадрат не может состоять из одинаковых цифр (если он не однозначный).

  в) Квадрат не может оканчиваться на четыре одинаковых цифры.

<i>a</i>₁ = <i>a</i>₂ = 1,  <i>a</i>_<i>n</i>+1 = <i>a_na</i>_<i>n</i>–1 + 1.  Доказать, что <i>a_n</i> не делится на 4.

Доказать, что  2^2¹⁹⁸⁹– 1  делится на 17.

<i>x</i>² ≡ <i>y</i>² (mod 239).  Доказать, что  <i>x</i> ≡ <i>y</i>  или  <i>x</i> ≡ – <i>y</i>.

Доказать, что  2^{2<i>n</i>–1} + 3<i>n</i> + 4  делится на 9 при любом <i>n</i>.

Доказать, что  <i>n</i>³ + 5<i>n</i>  делится на 6 при любом целом <i>n</i>.

Доказать, что  (2^<i>n</i> – 1)^<i>n</i> – 3  делится на  2^<i>n</i> – 3  при любом <i>n</i>.

Доказать, что при чётном <i>n</i>   20^<i>n</i> + 16^<i>n</i> – 3^<i>n</i> – 1  делится на 323.