Олимпиадные задачи из источника «глава 4. Делимость и остатки» для 7 класса

Докажите, что существует такое натуральное <i>n</i>, что числа  <i>n</i> + 1,  <i>n</i> + 2,  ...,  <i>n</i> + 1989  – составные.

Найдите наименьшее число, дающее следующие остатки: 1 – при делении на 2, 2 – при делении на 3, 3 – при делении на 4, 4 – при делении на 5, 5 – при делении на 6.

Докажите, что сумма <i>n</i> последовательных нечётных натуральных чисел при  <i>n</i> > 1  является составным числом.

Про семь натуральных чисел известно, что сумма любых шести из них делится на 5. Докажите, что каждое из данных чисел делится на 5.

Найдите последнюю цифру числа  1² + 2² + ... + 99².

а)  <i>a</i> + 1  делится на 3. Докажите, что  4 + 7<i>a</i>  делится на 3.б)  2 + <i>a</i>  и  35 – <i>b</i>  делятся на 11. Докажите, что  <i>a + b</i>  делится на 11.

<i>p</i>,  4<i>p</i>² + 1  и  6<i>p</i>² + 1  – простые числа. Найдите <i>p</i>.

Докажите, что сумма квадратов пяти последовательных натуральных чисел не является точным квадратом.

а) Может ли сумма квадратов двух нечётных чисел быть квадратом целого числа? б) Может ли сумма квадратов трёх нечётных чисел быть квадратом целого числа?

<i>p</i> и  <i>p</i>² + 2  – простые числа. Докажите, что  <i>p</i>² + 2  – также простое число.

а) <i>p,  p</i> + 10,  <i>p</i> + 14  – простые числа. Найдите <i>p</i>.б) <i>p</i>,  2<i>p</i> + 1,  4<i>p</i> + 1  – простые числа. Найдите <i>p</i>.

Найдите последнюю цифру числа 7^7⁷.

Докажите, что  2222⁵⁵⁵⁵ + 5555²²²²  делится на 7.

Найдите остаток от деления 3¹⁹⁸⁹ на 7.

Найдите остаток от деления 2¹⁰⁰ на 3.

На какую цифру оканчивается число 777⁷⁷⁷?

Найдите последнюю цифру числа 2⁵⁰.

Найдите последнюю цифру числа 1989¹⁹⁸⁹.

Сумма трёх натуральных чисел, являющихся точными квадратами, делится на 9.

Докажите, что из них можно выбрать два, разность которых также делится на 9.

Докажите, что сумма квадратов трёх натуральных чисел, уменьшенная на 7, не делится на 8.

<i>a, b, c</i> – целые числа, причём  <i>a + b + c</i>  делится на 6. Докажите, что  <i>a</i>³ + <i>b</i>³ + <i>c</i>³  тоже делится на 6.

Натуральные числа <i>x, y, z</i> таковы, что  <i>x</i>² + <i>y</i>² = <i>z</i>².  Докажите, что хотя бы одно из этих чисел делится на 3.

а) Докажите, что  <i>p</i>² – 1  делится на 24, если <i>p</i> – простое число и  <i>p</i> > 3.

б) Докажите, что  <i>p</i>² – <i>q</i>²  делится на 24, если <i>p</i> и <i>q</i> – простые числа, большие 3.

Докажите, что  <i>n</i>³ – <i>n</i>  делится на 24 при любом нечётном <i>n</i>.

Докажите, что  <i>n</i>³ + 2  не делится на 9 ни при каком натуральном <i>n</i>.