Олимпиадные задачи из источника «параграф 3. Итерации» для 3-9 класса - сложность 2-3 с решениями
параграф 3. Итерации
НазадНайти все действительные решения системы уравнений <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/78118/problem_78118_img_2.gif">
Рассмотрим окружность радиуса 1. Опишем около нее и впишем в нее правильные <i>n</i>-угольники. Обозначим их периметры через <i>P<sub>n</sub></i> (для описанного) и <i>p<sub>n</sub></i> (для вписанного).
а) Найдите <i>P</i><sub>4</sub>, <i>p</i><sub>4</sub>, <i>P</i><sub>6</sub> и <i>p</i><sub>6</sub>.
б) Докажите, что справедливы следующие рекуррентные соотношения: <i>P</i><sub>2<i>n</i></sub> = <img width="63" height="51" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61335/problem_61335_img_2.gif">, <i>p</i&...
Решите уравнение$\sqrt{a+\sqrt{a+\sqrt{a+x}}}$=<i>x</i>.
Последовательность чисел {<i>a</i><sub>n</sub>} задана условиями<div align="CENTER"> <i>a</i><sub>1</sub> = 1, <i>a</i><sub>n + 1</sub> = <i>a</i><sub>n</sub> + $\displaystyle {\dfrac{1}{a_n^2}}$ (<i>n</i> $\displaystyle \geqslant$ 1). </div>Верно ли, что эта последовательность ограничена?
Геометрической интерпретацией итерационного процесса служит<i>итерационная ломаная</i>. Для ее построения на плоскости<i>Oxy</i>рисуется график функции<i>f(x)</i>и проводится биссектриса координатного угла — прямая<i>y</i>=<i>x</i>. Затем на графике функции отмечаются точки<i>A<sub>0</sub>(x<sub>0</sub>,f(x<sub>0</sub>))</i>,<i>A<sub>1</sub>(x<sub>1</sub>,f(x<sub>1</sub>))</i>,...,<i>A<sub>n</sub>(x<sub>n</sub>,f(x<sub>n</sub>))</i>,... а на биссектрисе координатного угла — точки<i>B<sub>0</sub>(x<sub>0</sub>,x<sub>0</sub>)</i>,<i>B<...
Зафиксируем числа<i>a</i><sub>0</sub>и<i>a</i><sub>1</sub>. Построим последовательность {<i>a</i><sub>n</sub>} в которой<div align="CENTER"> <i>a</i><sub>n + 1</sub> = $\displaystyle {\frac{a_n+a_{n-1}}{2}}$ (<i>n</i> $\displaystyle \geqslant$ 1). </div>Выразите<i>a</i><sub>n</sub>через<i>a</i><sub>0</sub>,<i>a</i><sub>1</sub>и<i>n</i>.
Пусть<i>a</i>и<i>k</i>> 0 произвольные числа. Определим последовательность {<i>a</i><sub>n</sub>} равенствами<div align="CENTER"> <i>a</i><sub>0</sub> = <i>a</i>, <i>a</i><sub>n + 1</sub> = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$$\displaystyle \left(\vphantom{a_n+\frac{k}{a_n}}\right.$<i>a</i><sub>n</sub> + $\displaystyle {\frac{k}{a_n}}$$\displaystyle \left.\vphantom{a_n+\frac{k}{a_n}}\right)$ (<i>n</i> $\displaystyle \geqslant$ 0). </div>Докажите, что при любом неотрицательном<i>n</i>выполняется равенство<div align="CENTER"> $\displaystyle {\frac{a_n-\sqrt k}{a_n+\sqrt k}}$ = $\displa...
Имеются два сосуда. В них разлили 1 л воды. Из первого сосуда переливают половину воды во второй, затем из второго переливают половину оказавшейся в нем воды в первый, затем из первого сосуда переливают половину оказавшейся в нем воды во второй и т. д. Докажите, что независимо от того, сколько воды было сначала в каждом из сосудов, после 100 переливаний в них будет${\frac{2}{3}}$л и${\frac{1}{3}}$л с точностью до 1 миллилитра.