Олимпиадные задачи из источника «глава 8. Алгебра + геометрия» для 2-8 класса - сложность 1-5 с решениями

Решите систему     <img width="20" height="73" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61173/problem_61173_img_2.gif"><img width="129" height="73" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61173/problem_61173_img_3.gif"> Какой геометрический смысл она имеет?

Докажите, что в любом треугольнике точка <i>H</i> пересечения высот (ортоцентр), центр <i>O</i> описанной окружности и точка <i>M</i> пересечения медиан (центр тяжести) лежат на одной прямой, причём точка <i>M</i> расположена между точками <i>O</i> и <i>H</i>, и <i>MH</i> = 2<i>MO</i>.

Пусть <i>О</i> – центр правильного многоугольника <i>A</i>₁<i>A</i>₂<i>A</i>₃...<i>A_n</i>,  <i>X</i> – произвольная точка плоскости. Докажите, что:

   a)   <img align="middle" src="/storage/problem-media/55373/problem_55373_img_2.gif">    б)   <img align="middle" src="/storage/problem-media/55373/problem_55373_img_3.gif">

Докажите, что основания высот, середины сторон и середины отрезков от ортоцентра до вершин треугольника лежат на одной окружности.