Олимпиадные задачи из источника «глава 5. Числа, дроби, системы счисления» для 7 класса

Упростите выражение (избавьтесь от как можно большего количества знаков корней):   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/64993/problem_64993_img_2.gif"> .

<b>4 монеты.</b>Из четырех монет одна фальшивая (она отличается по весу от настоящей, но не известно, в какую сторону). Требуется за два взвешивания на двухчашечных весах без гирь найти фальшивую монету.

Коля Васин задумал число: 1, 2 или 3. Вы задаете ему только один вопрос, на который он может ответить да'',нет'' или ``не знаю''. Сможете ли вы угадать число, задав всего лишь один вопрос?

<b>Карточный фокус.</b>а) Берется колода из 27 карт (без одной масти). Ваш друг загадывает одну из карт. После чего вы раскладываете все карты в три равные кучки, кладя каждый раз по одной карте (в первую кучку, затем во вторую, затем в третью, потом снова в первую и т. д.). Ваш друг указывает на ту кучку, в которой лежит его карта. Далее вы складываете все три кучки вместе, вставляя при этом указанную кучку между двумя другими. Эта процедура повторяется еще два раза. На каком месте в колоде окажется загаданная карта, после того, как вы сложите вместе три кучки в третий раз? б) На каком месте окажется загаданная карта, если с самого начала было 3<i>n</i>(<i>n</i>< 9) карт?

а) У одного человека был подвал, освещавшийся тремя электрическими лампочками. Выключатели этих лампочек находились вне подвала, так что включив любой из выключателей, хозяин должен был спуститься в подвал, чтобы увидеть, какая именно лампочка зажглась. Однажды он придумал способ, как определить для каждого выключателя, какую именно лампочку он включает, сходив в подвал ровно один раз. Какой это способ? б) Сколько лампочек и выключателей можно идентифицировать друг с другом, если разрешается 2 раза спуститься в подвал?

а) Имеются две веревки. Если любую из них поджечь с одного конца, то она сгорит за час. Веревки горят неравномерно. Например, нельзя гарантировать, что половина веревки сгорает за 30 минут. Как, имея две такие веревки, отмерить промежуток времени в 15 минут? б) Сколько промежутков времени (считая нулевой) можно отмерить, имея три такие веревки?

Вы имеете право сделать 4 гири любого веса. Какие это должны быть гири, чтобы на весах из предыдущей задачи можно было взвесить грузы от 1 до 40 кг?

Имеются четыре гири и двухчашечные весы без стрелки. Сколько всего различных по весу грузов можно точно взвесить этими гирями, если

  а) гири можно класть только на одну чашку весов;

  б) гири можно класть на обе чашки весов?

Дан мешок сахарного песка, чашечные весы и гирька в 1 г. Можно ли за 10 взвешиваний отмерить 1 кг сахара?

Имеются весы с двумя чашами и по одной гире в 1 г, 3 г, 9 г, 27 г и 81 г. Как уравновесить груз в 61 г, положенный на чашу весов?

Как связаны между собой десятичные представления чисел  <img align="absMIDDLE" src="/storage/problem-media/60878/problem_60878_img_2.gif">  и  <img align="absMIDDLE" src="/storage/problem-media/60878/problem_60878_img_3.gif"> ?

Пусть число α задаётся десятичной дробью

  а) 0,101001000100001000001...;

  б) 0,123456789101112131415....

Будет ли это число рациональным?

Представьте следующие числа в виде обычных и в виде десятичных дробей:

  а)  0,(12) + 0,(122);   б)  0,(3)·0,(4);   в)  0,(9) – 0,(85).

Представьте следующие рациональные числа в виде десятичных дробей:

  а) ¹/₇;   б) ²/₇;   в) ¹/₁₄;   г) ¹/₁₇.