Олимпиадные задачи из источника «параграф 2. Десятичные дроби» для 11 класса

Найдите последние три цифры периодов дробей ¹/₁₀₇, ¹/₁₃₁, ¹/₁₅₁. (Это можно сделать, не считая предыдущих цифр.)

Пусть число <i>m</i> имеет вид  <i>m</i> = 2^<i>a</i>5^<i>b</i><i>m</i>₁,  где  (10, <i>m</i>₁) = 1.  Положим  <i>k</i> = max {<i>a, b</i>}.

Докажите, что период дроби ¹/_<i>m</i> начинается с (<i>k</i>+1)-й позиции после запятой, и имеет такую же длину, как и период дроби ¹/_<i>m</i>₁.

Обозначим через  <i>L</i>(<i>m</i>)  длину периода дроби   ¹/_<i>m</i>. Докажите, что если  (<i>m</i>₁, 10) = 1  и  (<i>m</i>₂, 10) = 1,  то справедливо равенство  <i>L</i>(<i>m</i>₁<i>m</i>₂) = [<i>L</i>(<i>m</i>₁), <i>L</i>(<i>m</i>₂)].

Чему равна длина периода дроби  ¹/_<i>m</i>₁ + ¹/_<i>m</i>₂?

Пусть  (<i>m, n</i>) = 1.  Докажите, что сумма длин периода и предпериода десятичного представления дроби  ^<i>m</i>/_<i>n</i>  не превосходит φ(<i>n</i>).

Обозначим через  <i>L</i>(<i>m</i>)  длину периода дроби ¹/_<i>m</i>. Докажите, что если  (<i>m</i>, 10) = 1,  то  <i>L</i>(<i>m</i>)  является делителем числа φ(<i>m</i>).

  Число  <i>N</i> = 142857  обладает и рядом других свойств. Например:  2·142857 = 285714,  3·142857 = 428571,  ..., то есть при умножении на 1, 2, 3, ..., 6 цифры циклически переставляются;  14 + 28 + 57 = 99;  <i>N</i>² = 20408122449,  20408 + 122449 = 142857 = <i>N</i>.

  Аналогичные операции можно проделывать и с другими периодами дробей. Что получается для чисел 1/17, 1/19? Объясните эти факты.

Периодом дроби ¹/₇ является число  <i>N</i> = 142857.  Оно обладает следующим свойством: сумма двух половин периода – число из одних девяток

142 + 857 = 999).  Докажите в общем случае, что для простого  <i>q</i> > 5  и натурального  <i>p < q</i>  период дроби ^<i>p</i>/_<i>q</i> есть такое 2<i>n</i>-значное число  <i>N</i> = <span style="text-decoration: overline;"><i>N</i>₁<i>N</i>₂</span>,  что  <i>N</i>₁ + <i>N</i>₂ = <img width="54" he...