Олимпиадные задачи из источника «параграф 1. Простые числа» для 7 класса - сложность 2-5 с решениями
параграф 1. Простые числа
НазадДоказать, что остаток от деления простого числа на 30 – простое число или единица.
Пусть <i>a</i> и <i>n</i> – натуральные числа, большие 1. Докажите, что если число <i>a<sup>n</sup></i> – 1 простое, то <i>a</i> = 2 и <i>n</i> – простое.
(Числа вида <i>q</i> = 2<sup><i>n</i></sup> – 1 называются <i>числами Мерсенна</i>.)
Пусть <i>a</i> и <i>n</i> – натуральные числа, большие 1. Докажите, что если число <i>a<sup>n</sup></i> + 1 простое, то <i>a</i> чётно и <i>n</i> = 2<sup><i>k</i></sup>.
(Числа вида <i>f<sub>k</sub></i> = 2<sup>2<sup><i>k</i></sup></sup> + 1 называются <i>числами Ферма</i>.)
Евклидово доказательство бесконечности множества простых чисел наводит на мысль определить рекуррентно <i>числа Евклида</i>:
<i>e</i><sub>1</sub> = 2, <i>e<sub>n</sub> = e</i><sub>1</sub><i>e</i><sub>2</sub>...<i>e</i><sub><i>n</i>–1</sub> + 1 (<i>n</i> ≥ 2). Все ли числа <i>e<sub>n</sub></i> являются простыми?
Верно ли, что все числа вида <i>p</i><sub>1</sub><i>p</i><sub>2</sub>...<i>p<sub>n</sub></i> + 1 являются простыми? (<i>p<sub>k</sub></i> – <i>k</i>-е простое число.)
Докажите, что при <i>n</i> > 2 числа 2<sup><i>n</i></sup> – 1 и 2<sup><i>n</i></sup> + 1 не могут быть простыми одновременно.
Найдите все простые числа, которые равны сумме двух простых чисел и разности двух простых чисел.
Докажите, что для любого натурального <i>n</i> найдутся <i>n</i> подряд идущих натуральных чисел, среди которых ровно одно простое.
Докажите, что существуют 1000 подряд идущих составных чисел.
Когда натуральное число имеет нечётное количество делителей?
Докажите, что множество простых чисел вида <i>p</i> = 6<i>k</i> + 5 бесконечно.
Докажите, что множество простых чисел вида <i>p</i> = 4<i>k</i> + 3 бесконечно.