Олимпиадные задачи из источника «параграф 1. Простые числа» для 10 класса - сложность 1-2 с решениями
параграф 1. Простые числа
НазадПусть <i>P</i>(<i>x</i>) – многочлен ненулевой степени с целыми коэффициентами. Могут ли все числа <i>P</i>(0), <i>P</i>(1), <i>P</i>(2), ... быть простыми?
Докажите, что числа Ферма <i>f<sub>n</sub></i> = 2<sup>2<sup><i>n</i></sup></sup> + 1 при <i>n</i> > 1 не представимы в виде суммы двух простых чисел.
Пусть <i>f<sub>n</sub></i> = 2<sup>2<sup><i>n</i></sup></sup> + 1. Докажите, что <i>f<sub>n</sub></i> делит 2<i><sup>f<sub>n</sub></sup></i> – 2.
Докажите неравенство <i>p</i><sub><i>n</i>+1</sub> < <i>p</i><sub>1</sub><i>p</i><sub>2</sub>...<i>p<sub>n</sub></i> (<i>p<sub>k</sub></i> – <i>k</i>-е простое число).
Пусть {<i>p<sub>n</sub></i>} – последовательность простых чисел (<i>p</i><sub>1</sub> = 2, <i>p</i><sub>2</sub> = 3, <i>p</i><sub>3</sub> = 5, ...).
а) Докажите, что <i>p<sub>n</sub></i> > 2<i>n</i> при <i>n</i> ≥ 5.
б) При каких <i>n</i> будет выполняться неравенство <i>p<sub>n</sub></i> > 3<i>n</i>?
При каких целых <i>n</i> число <i>n</i><sup>4</sup> + 4 – составное?
Предположим, что нашлись 15 простых чисел, образующих арифметическую прогрессию с разностью <i>d</i>. Докажите, что <i>d</i> > 30000.