Задача
Пусть {pn} – последовательность простых чисел (p1 = 2, p2 = 3, p3 = 5, ...).
а) Докажите, что pn > 2n при n ≥ 5.
б) При каких n будет выполняться неравенство pn > 3n?
Решение
а) Поскольку все простые числа, кроме 2, нечётны, то pn ≥ p5 + 2(n – 5) = 2n + 1 при n ≥ 5. б) Все простые числа, начиная с 7, имеют вид 6n + 1 или 6n + 5. Поскольку p12 = 37 = 6·6 + 1, то p12+2n ≥ 6(6 + n) + 1 > 3(12 + 2n), а
p12+2n+1 ≥ 6(6 + n) + 5 > 3(12 + 2n + 1).
При n < 12, как легко проверить, неравенство не выполнено.
Ответ
б) При n ≥ 12.
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет