Олимпиадные задачи из источника «параграф 3. Размещения, перестановки и сочетания» для 1-8 класса
параграф 3. Размещения, перестановки и сочетания
НазадНа сколько частей разделяют<i>n</i>-угольник его диагонали, если никакие три диагонали не пересекаются в одной точке?
У игрока в преферанс оказалось 4 козыря, а еще 4 находятся на руках у двух его противников. Какова вероятность того, что козыри лягут а) 2 : 2; б) 3 : 1; в) 4 : 0?
Имеется три ящика, в каждом из которых лежат шары с номерами от 0 до 9. Из каждого ящика вынимается по одному шару. Какова вероятность того, что а) вынуты три единицы; б) вынуты три равных числа?
Пишется наудачу некоторое двузначное число. Какова вероятность того, что сумма цифр этого числа равна 5?
В ящике имеется 10 белых и 15 чёрных шаров. Из ящика вынимаются четыре шара. Какова вероятность того, что все вынутые шары будут белыми?
Сколько существует различных возможностей рассадить 5 юношей и 5 девушек за круглый стол с 10 креслами так, чтобы они чередовались?
Сколько четырёхзначных чисел можно составить, используя цифры 1, 2, 3, 4 и 5, если:
а) никакая цифра не повторяется более одного раза;
б) повторения цифр допустимы;
в) числа должны быть нечётными и повторений цифр быть не должно?
В разложении (<i>x + y</i>)<sup><i>n</i></sup> по формуле бинома Ньютона второй член оказался равен 240, третий – 720, а четвёртый – 1080. Найдите <i>x, y</i> и <i>n</i>.
120 одинаковых шаров плотно уложены в виде правильной треугольной пирамиды. Сколько шаров лежит в основании?
Докажите равенство <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/60414/problem_60414_img_2.gif">
Вычислите суммы: a) <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/60412/problem_60412_img_2.gif"> б) <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/60412/problem_60412_img_3.gif"> в) <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/60412/problem_60412_img_4.gif">
При каких значениях <i>n</i> все коэффициенты в разложении бинома Ньютона (<i>a + b</i>)<sup><i>n</i></sup> нечётны?
Сколькими способами, двигаясь по следующей таблице от буквы к букве, <div align="CENTER"> <table cellpadding="3"> <tr><td align="CENTER"> </td> <td align="CENTER"> </td> <td align="CENTER"> </td> <td align="CENTER"> </td> <td align="CENTER"> </td> <td align="CENTER"> </td> <td align="CENTER">к</td> <td align="CENTER"> </td> <td align="CENTER"> </td> <td align="CENTER"> </td> <td align="CENTER"> </td> <td align="CENTER"> </td> <td align="CENTER"> </td> </tr> <tr&g...
Сколько существует шестизначных чисел, у которых каждая последующая цифра меньше предыдущей?
При игре в преферанс каждому из трёх игроков раздают по 10 карт, а две карты кладут в прикуп. Сколько различных раскладов возможно в этой игре? (Считаются возможные раздачи без учета того, что каждые 10 карт достаются конкретному игроку.)
Имеется множество <i>C</i>, состоящее из <i>n</i> элементов. Сколькими способами можно выбрать в <i>C</i> два подмножества <i>A</i> и <i>B</i> так, чтобы
а) множества <i>A</i> и <i>B</i> не пересекались;
б) множество <i>A</i> содержалось бы в множестве <i>B</i>?
Сколькими способами можно разделить на команды по 6 человек для игры в волейбол группу:
а) из 12; б) из 24 спортсменов?
Параллелограмм пересекается двумя рядами прямых, параллельных его сторонам; каждый ряд состоит из <i>m</i> прямых.
Сколько параллелограммов можно выделить в образовавшейся сетке?
<i>Анаграммой</i> называется произвольное слово, полученное из данного слова перестановкой букв. Сколько анаграмм можно составить из слов:
а) "точка"; б) "прямая"; в) "перешеек"; г) "биссектриса"; д) "абракадабра"; е) "комбинаторика"?
В выпуклом <i>n</i>-угольнике проведены все диагонали. Они разбивают его на выпуклые многоугольники. Возьмём среди них многоугольник с самым большим числом сторон.
Сколько сторон он может иметь?
Сколько диагоналей имеет выпуклый:
а) 10-угольник; б) <i>k</i>-угольник (<i>k</i> > 3)?
Докажите, что для любого натурального <i>a</i> найдётся такое натуральное <i>n</i>, что все числа <i>n</i> + 1, <i>n<sup>n</sup></i> + 1, <i>n<sup>n<sup>n</sup></sup></i> + 1, ... делятся на <i>a</i>.
Докажите справедливость формулы <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/60388/problem_60388_img_2.gif">
У Нины 7 разных шоколадных конфет, у Коли 9 разных карамелек. Сколькими способами они могут обменяться друг с другом пятью конфетами?
Международная комиссия состоит из девяти человек. Материалы комиссии хранятся в сейфе. Сколько замков должен иметь сейф, сколько ключей для них нужно изготовить и как их разделить между членами комиссии, чтобы доступ к сейфу был возможен тогда и только тогда, когда соберутся не менее шести членов комиссии?