Олимпиадные задачи из источника «параграф 3. Выпуклость» - сложность 2 с решениями

Докажите, что если  <i>x + y + z</i> = 6,  то  <i>x</i>² + <i>y</i>² + <i>z</i>² ≥ 12.

Докажите, что для любых<i>x</i>₁,...,<i>x</i>_n$\in$[0; $\pi$] справедливо неравенство:<div align="CENTER"> sin$\displaystyle \left(\vphantom{\dfrac{x_1+\ldots+x_n}{n}}\right.$$\displaystyle {\dfrac{x_1+\ldots+x_n}{n}}$$\displaystyle \left.\vphantom{\dfrac{x_1+\ldots+x_n}{n}}\right)$ $\displaystyle \geqslant$ $\displaystyle {\dfrac{\sin x_1+\ldots+ \sin x_n}{n}}$. </div>

<b>Неравенство Иенсена.</b>Докажите, что если функция<i>f</i>(<i>x</i>) выпукла вверх на отрезке [<i>a</i>;<i>b</i>], то для любых различных точек<i>x</i>₁,<i>x</i>₂, ...,<i>x</i>_n(<i>n</i>$\geqslant$2) из [<i>a</i>;<i>b</i>] и любых положительных$\alpha_{1}^{}$,$\alpha_{2}^{}$, ...,$\alpha_{n}^{}$таких, что$\alpha_{1}^{}$+$\alpha_{2}^{}$+...+$\alpha_{n}^{}$= 1, выполняется неравенство:<div align="CENTER"> <i>f</i> ($\displaystyle \alpha_{1}^{}$<i>x</i>₁ +...+ $\displaystyle \alpha_{n}^{}$<i>x</i><sub>n</sub&g...

Докажите, что если функция<i>f</i>(<i>x</i>) выпукла вверх на отрезке [<i>a</i>;<i>b</i>], то для любых различных точек<i>x</i>₁,<i>x</i>₂из [<i>a</i>;<i>b</i>] и любых положительных$\alpha_{1}^{}$,$\alpha_{2}^{}$таких, что$\alpha_{1}^{}$+$\alpha_{2}^{}$= 1 выполняется неравенство: <div align="CENTER"> <i>f</i>$\displaystyle \left(\vphantom{\alpha_1x_1+\alpha_2x_2}\right.$$\displaystyle \alpha_{1}^{}$<i>x</i>₁ + $\displaystyle \alpha_{2}^{}$<i>x</i>₂$\displaystyle \left.\vphantom{\alpha_1x_1+\alpha_2x_2}\right)$ > $\displaystyle \alpha_{1}^{}$<i&gt...