Олимпиадные задачи из источника «глава 1. Метод математической индукции» для 1-8 класса - сложность 1 с решениями

Докажите неравенство  2^{<i>m+n</i>–2} ≥ <i>mn</i>,  где <i>m</i> и <i>n</i> – натуральные числа.

Докажите неравенство: |<i>x</i>₁+ ... +<i>x</i>_n| ≤ |<i>x</i>₁| + ... + |<i>x</i>_n|, где<i>x</i>₁,...,<i>x</i>_n — произвольные числа.

Докажите неравенство:  2<i>ⁿ > n</i>.

Докажите неравенство для натуральных  <i>n</i> > 1:   <img align="MIDDLE" src="/storage/problem-media/60304/problem_60304_img_2.gif">

Докажите, что для всех натуральных <i>n</i> число, записываемое 3^<i>n</i> единицами, делится на 3^<i>n</i>.

Докажите, что для любого натурального <i>n</i>  2^5<i>n</i>+3 + 5^<i>n</i>·3^<i>n</i>+2  делится на 17.

Докажите тождество:${\dfrac{1^2}{1\cdot3}}$+${\dfrac{2^2}{3\cdot5}}$+...+${\dfrac{n^2}{(2n-1)(2n+1)}}$=${\dfrac{n(n+1)}{2(2n+1)}}$.

Докажите тождество: 1²+ 3²+...+ (2<i>n</i>- 1)²=$\displaystyle {\textstyle\frac{1}{3}}$<i>n</i>(2<i>n</i>- 1)(2<i>n</i>+ 1).

Докажите тождество: 1²+ 2²+...+<i>n</i>²=$\displaystyle {\textstyle\frac{1}{6}}$<i>n</i>(<i>n</i>+ 1)(2<i>n</i>+ 1).

Докажите тождество: 1 + 3 + 5 +...+ (2<i>n</i>– 1) =<i>n</i>².

Число<i>x</i>таково, что число<i>x</i>+${\dfrac{1}{x}}$ — целое. Докажите, что при любом натуральном<i>n</i>число<i>x</i>ⁿ+${\frac{1}{x^n}}$также является целым.

<b>Позиционная система счисления.</b>Докажите, что при<i>q</i>$\geqslant$2 каждое натуральное число<i>n</i>может быть единственным образом представлено в виде<div align="CENTER"> <i>n</i> = <i>a</i>_k<i>q</i>^k + <i>a</i>_{k - 1}<i>q</i>^{k - 1} +...+ <i>a</i>₁<i>q</i> + <i>a</i>₀, </div>где0$\leqslant$<i>a</i>₀,...,<i>a</i>_k<<i>q</i>

Докажите, что если <i>a</i> и <i>b</i> – целые числа и  <i>b</i> ≠ 0,  то существует единственная пара чисел <i>q</i> и <i>r</i>, для которой  <i>a = bq + r</i>,  0 ≤ <i>r < |b</i>|.

Несколько прямых делят плоскость на части. Докажите, что эти части можно раскрасить в 2 цвета так, что граничащие части будут иметь разный цвет.

Доказать, что  <i>n</i>³ + 5<i>n</i>  делится на 6 при любом целом <i>n</i>.