Олимпиадные задачи из источника «Рамблер-Наука - задача дня (www.nature.ru)» для 11 класса - сложность 2 с решениями

Десятичная запись натурального числа <i>a</i> состоит из <i>n</i> цифр, а десятичная запись числа <i>a</i>³ состоит из <i>m</i> цифр. Может ли  <i>m + n</i>  равняться 2001?

Имеется 19 гирек весов 1, 2, 3, ..., 19 г: девять железных, девять бронзовых и одна золотая. Известно, что общий вес всех железных гирек на 90 г больше общего веса бронзовых. Найдите вес золотой гирьки.

Коэффициенты квадратного уравнения  <i>x</i>² + <i>px + q</i> = 0  изменили не больше чем на 0,001.

Может ли больший корень уравнения измениться больше, чем на 1000?

Существует ли многогранник (не обязательно выпуклый), полных список рёбер которого имеет вид: <i>AB, AC, BC, BD, CD, DE, EF, EG, FG, FH, GH, AH</i> (на рисунке приведена схема соединения рёбер)? <div align="center"><img src="/storage/problem-media/97791/problem_97791_img_2.gif"></div>

Квадратная таблица в <i>n</i>² клеток заполнена числами от 1 до <i>n</i> так, что в каждой строке и каждом столбце встречаются все эти числа. Если <i>n</i> нечётно и таблица симметрична относительно диагонали, идущей из левого верхнего угла в правый нижний, то на этой диагонали встретятся все эти числа 1, 2, 3,..., <i>n</i>. Доказать.

Докажите, что для составного числа 561 справедлив аналог малой теоремы Ферма: если  (<i>a</i>, 561) = 1,  то  <i>a</i>⁵⁶⁰ ≡ 1 (mod 561).

Даны многочлены <i>P</i>₁, <i>P</i>₂, ... , <i>P</i>₅, имеющие суммы коэффициентов, равные 1, 2, 3, 4, 5 соответственно.

Найдите сумму коэффициентов многочлена  <i>Q</i> = <i>P</i>₁<i>P</i>₂...<i>P</i>₅.

Докажите, что графики функций  <i>y = x</i>²  и  <i>y</i> = 2<i>x</i>²  являются подобными фигурами.

Докажите, что выпуклый четырёхгранный угол можно пересечь плоскостью так, чтобы в сечении получился параллелограмм.

Найдите все конечные множества точек на плоскости, обладающие таким свойством: никакие три точки множества не лежат на одной прямой и вместе с каждыми тремя точками данного множества ортоцентр треугольника, образованного этими точками, также принадлежит данному множеству.

Повесьте картину на веревочке на два гвоздя так, чтобы при вытаскивании любого из гвоздей картина падала.

Выписаны в ряд числа от 1 до 2002. Играют двое, делая ходы поочередно. За один ход разрешается вычеркнуть любое из записанных чисел вместе со всеми его делителями. Выигрывает тот, кто зачеркнёт последнее число. Докажите, что у первого игрока есть способ играть так, чтобы всегда выигрывать.

Можно ли через вершины куба провести 8 параллельных плоскостей так, чтобы расстояния между соседними плоскостями были равны?

Любой ли трехгранный угол можно так пересечь плоскостью, что в сечении получится правильный треугольник?

В одной из трех коробок лежит приз, две другие коробки пустые. Вы не знаете, в какой из коробок находится приз, а ведущий знает. Вы должны показать на одну из коробок, в которой по Вашему мнению находится приз. После этого ведущий открывает одну из двух оставшихся коробок. Так как он не хочет сразу отдавать приз, он открывает пустую коробку. После этого Вам предлагается окончательно выбрать коробку. Можете ли Вы выиграть приз с вероятностью, большей 1/2?

Можно ли через точку в пространстве провести 7 различных прямых так, чтобы для каждых двух из них нашлась третья, которая перпендикулярна им обеим?

Куб разбит двумя способами на тетраэдры с вершинами в вершинах данного куба.

Верно ли, что в обоих случаях количество тетраэдров одно и то же?

Известно, что  <i>x</i> + 2<i>y</i> + 3<i>z</i> = 1.  Какое минимальное значение может принимать выражение  <i>x</i>² + <i>y</i>² + <i>z</i>²?

Какое максимальное число ребер правильной n-угольной призмы может пересекать плоскость, не проходящая через вершины призмы?

Докажите, что у любой треугольной пирамиды найдется сечение, имеющее форму ромба.

Криптограмма 12 2 24 5 3 21 6 29 28 2 20 18 20 21 5 10 27 17 2 11 2 16 - 19 2 27 5 8 29 12 31 22 2 16, 19 2 19 5 17 29 8 29 6 29 16: 8 2 19 19 29 10 19 29 14 19 29 29 19 10 2 24 2 11 2 16 10 14 18 21 17 2 20 2 28 29 16 21 29 28 6 29 16. </pre>получена заменой букв на числа (от 1 до 32) так, что разным буквам соответствуют разные числа. Отдельные слова разделены несколькими пробелами, буквы - одним пробелом, знаки препинания сохранены. Буквы е'' и ё'' не различаются. Прочтите четверостишие В. Высоцкого.

Пусть <i>M</i> – конечное множество чисел. Известно, что среди любых трёх его элементов найдутся два, сумма которых принадлежит <i>M</i>.

Какое наибольшее число элементов может быть в <i>M</i>?

Известно, что в тетраэдре две пары скрещивающихся ребер перепндикулярны. Докажите, что и третья пара скрещивающихся ребер обладает этим свойством.

Найдите первые 99 знаков после запятой в разложении числа   <img src="/storage/problem-media/35551/problem_35551_img_2.gif" width="59" height="14" border="0">.

Докажите, что для любого натурального <i>n</i> в десятичной записи чисел 2002^<i>n</i> и  2002^<i>n</i> + 2^<i>n</i>  одинаковое число цифр.