Олимпиадные задачи по теме «Геометрические методы» - сложность 1 с решениями

Даны точки <i>A</i>(0;0), <i>B</i>(- 2;1), <i>C</i>(3;3), <i>D</i>(2; - 1) и окружность <!-- MATH $(x - 1)^{2} + (y + 3)^{2} = 25$ --> (<i>x</i> - 1)² + (<i>y</i> + 3)² = 25. Выясните, где расположены эти точки: на окружности, внутри или вне окружности.

Сложите шесть спичек так, чтобы они образовали четыре равносторонних треугольника.

Найдите координаты вершин треугольника, стороны которого лежат на прямых <!-- MATH $2x + y - 6 = 0$ --> 2<i>x</i> + <i>y</i> - 6 = 0, <!-- MATH $x - y + 4 = 0$ --> <i>x</i> - <i>y</i> + 4 = 0 и <i>y</i> + 1 = 0.

Составьте уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых <!-- MATH $3x + 2y - 5 = 0$ --> 3<i>x</i> + 2<i>y</i> - 5 = 0 и <!-- MATH $x - 3y + 2 = 0$ --> <i>x</i> - 3<i>y</i> + 2 = 0 параллельно оси ординат.

Составьте уравнение прямой, проходящей через точку <i>M</i>(- 3;1) параллельно а) оси <i>Ox</i>; б) оси <i>Oy</i>.

Даны точки <i>A</i>(0; - 2), <i>B</i>(- 2;1), <i>C</i>(0;0) и <i>D</i>(2; - 9). Укажите те из них, которые лежат на прямой <!-- MATH $2x - 3y + 7 = 0$ --> 2<i>x</i> - 3<i>y</i> + 7 = 0.

На числовой прямой отмечены две точки. В каком месте этой прямой расположена точка, соответствующая их среднему арифметическому?

Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку<i> M</i>(<i>-</i>2<i>;</i>0<i>;</i>3)параллельно плоскости2<i>x - y - </i>3<i>z + </i>5<i> = </i>0.

В пространстве даны параллелограмм <i>ABCD</i> и плоскость <i>M</i>. Расстояния от точек <i>A</i>, <i>B</i> и <i>C</i> до плоскости <i>M</i> равны соответственно <i>a</i>, <i>b</i> и <i>c</i>.

Найти расстояние <i>d</i> от вершины <i>D</i> до плоскости <i>M</i>.

Плоскость, заданная уравнением x+2y+3z=0, разбивает пространство на два полупространства. Узнайте, в одном или в разных полупространствах лежат точки (1,2,-2) и (2,1,-1).