Олимпиадные задачи по теме «Производная» для 9 класса - сложность 3 с решениями

Существуют ли такие значения <i>a</i> и <i>b</i>, при которых уравнение   <i>х</i>⁴ – 4<i>х</i>³ + 6<i>х</i>² + <i>aх + b</i> = 0  имеет четыре различных действительных корня?

Многочлен <i>P</i>(<i>x</i>) степени <i>n</i> имеет <i>n</i> различных действительных корней. Какое наибольшее число его коэффициентов может равняться нулю?

Несколько путников движутся с постоянными скоростями по прямолинейной дороге. Известно, что в течение некоторого периода времени сумма попарных расстояний между ними монотонно уменьшалась. Докажите, что в течение того же периода сумма расстояний от некоторого путника до всех остальных тоже монотонно уменьшалась.

Пусть  <i>f</i>(<i>x</i>) – некоторый многочлен ненулевой степени.

Может ли оказаться, что уравнение  <i>f</i>(<i>x</i>) = <i>a</i>  при любом значении <i>a</i> имеет чётное число решений?

Пусть <i>a</i> – положительный корень уравнения  <i>x</i>²⁰¹⁷ – <i>x</i> – 1 = 0,  а <i>b</i> – положительный корень уравнения  <i>y</i>⁴⁰³⁴ – <i>y</i> = 3<i>a</i>.

  а) Сравните <i>a</i> и <i>b</i>.

  б) Найдите десятый знак после запятой числа  |<i>a – b</i>|.

Дано натуральное число  <i>n</i> > 3.  Назовём набор из <i>n</i> точек на координатной плоскости <i>допустимым</i>, если их абсциссы различны, и каждая из этих точек окрашена либо в красный, либо в синий цвет. Будем говорить, что многочлен <i>P</i>(<i>x</i>) <i>разделяет</i> допустимый набор точек, если либо выше графика <i>P</i>(<i>x</i>) нет красных точек, а ниже – нет синих, либо наоборот (на самом графике могут лежать точки обоих цветов). При каком наименьшем <i>k</i> любой допустимый набор из <i>n</i> точек можно разделить многочленом степени не более <i>k</i>?

Даны рациональные положительные <i>p, q</i>, причём  ¹/_<i>p</i> + ¹/_<i>q</i> = 1.  Докажите, что для положительных <i>a</i> и <i>b</i> выполняется неравенство   <i>ab ≤ ^{a^p}</i>/<i>_p + ^{b^q}</i>/_<i>q</i>.

Найдите все значения параметра <i>a</i>, при которых корни <i>x</i>₁, <i>x</i>₂, <i>x</i>₃ многочлена  <i>x</i>³ – 6<i>x</i>² + <i>ax + a</i>  удовлетворяют равенству

(<i>x</i>₁ – 3)³ + (<i>x</i>₂ – 3)³ + (<i>x</i>₃ – 3)³ = 0.