Олимпиадные задачи по теме «Интеграл» для 11 класса - сложность 3-5 с решениями

Миша мысленно расположил внутри данного круга единичного радиуса выпуклый многоугольник, содержащий центр круга, а Коля пытается угадать его периметр. За один шаг Коля указывает Мише какую-либо прямую и узнает от него, пересекает ли она многоугольник. Имеет ли Коля возможность наверняка угадать периметр многоугольника:

а) через 3 шага с точностью до 0,3;

б) через 2007 шагов с точностью до 0,003?

Разрезать отрезок  [–1, 1]  на чёрные и белые отрезки так, чтобы интегралы от любой  а) линейной функции;  б) квадратного трёхчлена по белым и чёрным отрезкам были равны.

Функция<i>y</i>=<i>f</i>(<i>x</i>) определена на отрезке [0;1] и в каждой точке этого отрезка имеет первую и вторую производные. Известно, что<i>f</i> (0) = <i>f</i> (1) = 0 и что |<i>f''</i>(<i>x</i>)| ≤ 1 на всём отрезке. Какое наибольшее значение может принимать максимум функции<i>f</i>для всевозможных функций, удовлетворяющих этим условиям?

Вычислите$\int_0^{\pi /2}(\sin ^2 (\sin x)+ \cos^2(\cos x)) dx$.