Олимпиадные задачи по теме «Действительные числа» - сложность 1 с решениями

Существует ли такое вещественное α, что число cos α иррационально, а все числа cos 2α, cos 3α, cos 4α, cos 5α рациональны?

Решить уравнение  [<i>x</i>³] + [<i>x</i>²] + [<i>x</i>] = {<i>x</i>} − 1.

Решить в натуральных числах уравнение:   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/98024/problem_98024_img_2.gif">

Докажите, что для действительного положительного α и натурального <i>d</i> всегда выполнено равенство  [^α/_<i>d</i>] = [^[α]/_<i>d</i>].

Пусть α – действительное положительное число, <i>d</i> – натуральное.

Докажите, что количество натуральных чисел, не превосходящих α и делящихся на <i>d</i>, равно  [^α/_<i>d</i>].