Олимпиадные задачи по теме «Действительные числа» для 6-7 класса - сложность 1-2 с решениями
Действительные числа
НазадРешить уравнение [<i>x</i>³] + [<i>x</i>²] + [<i>x</i>] = {<i>x</i>} − 1.
Решить в натуральных числах уравнение: <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/98024/problem_98024_img_2.gif">
На доску записали числа $1$, $2$, ..., $100$. Далее за ход стирают любые два числа $a$ и $b$, где $a\geqslant b>0$, и пишут вместо них одно число $[a/b]$. После $99$ ходов на доске останется одно число. Каким наибольшим оно может быть? (Напомним, что $[x]$ — это наибольшее целое число, не превосходящее $x$.)
Известно, что <i>а</i> > 1. Обязательно ли имеет место равенство <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/65593/problem_65593_img_2.gif"> = <img align="middle" src="/storage/problem-media/65593/problem_65593_img_3.gif">?
Пусть число α задаётся десятичной дробью
а) 0,101001000100001000001...;
б) 0,123456789101112131415....
Будет ли это число рациональным?
Докажите, что для действительного положительного α и натурального <i>d</i> всегда выполнено равенство [<sup>α</sup>/<sub><i>d</i></sub>] = [<sup>[α]</sup>/<sub><i>d</i></sub>].
Пусть α – действительное положительное число, <i>d</i> – натуральное.
Докажите, что количество натуральных чисел, не превосходящих α и делящихся на <i>d</i>, равно [<sup>α</sup>/<sub><i>d</i></sub>].
Доказать, что если несократимая рациональная дробь <sup><i>p</i></sup>/<sub><i>q</i></sub> является корнем многочлена <i>P</i>(<i>x</i>) с целыми коэффициентами, то <i>P</i>(<i>x</i>) = (<i>qx – p</i>)<i>Q</i>(<i>x</i>), где многочлен <i>Q</i>(<i>x</i>) также имеет целые коэффициенты.