Олимпиадные задачи по теме «Логика и теория множеств» для 8-9 класса - сложность 1 с решениями

В 10 одинаковых кувшинов было разлито молоко – не обязательно поровну, но каждый оказался заполнен не более чем на 10%. За одну операцию можно выбрать кувшин и отлить из него любую часть поровну в остальные кувшины. Докажите, что не более чем за 10 таких операций можно добиться, чтобы во всех кувшинах молока стало поровну.

В вершинах шестиугольника <i>ABCDEF</i> (см. рис.) лежали 6 одинаковых на вид шариков: в <i>A</i> — массой 1 г, в <i>B</i> — 2 г, ..., в <i>F</i> — 6 г. Шутник поменял местами два шарика в противоположных вершинах. Имеются двухчашечные весы, позволяющие узнать, в какой из чаш масса шариков больше. Как за одно взвешивание определить, какие именно шарики переставлены?<div align="center"><img src="/storage/problem-media/116208/problem_116208_img_2.gif"></div>

Из четырёх неравенств  2<i>x</i> > 70,  <i>x</i> < 100,  4<i>x</i> > 25  и  <i>x</i> > 5  два истинны и два ложны. Найдите значение <i>x</i>, если известно, что оно целое.

В стаде, состоящем из лошадей, двугорбых и одногорбых верблюдов, в общей сложности 200 горбов.

Сколько животных в стаде, если количество лошадей равно количеству двугорбых верблюдов? .

Можно ли заменить буквы цифрами в ребусе<center> <center><i> ШЕ</i><i>· СТЬ</i> + 1<i>=СЕ</i><i>· МЬ</i></center> </center>так, чтобы получилось верное равенство (разные буквы нужно заменять разными цифрами, одинаковые буквы — одинаковыми цифрами)?

КУБ является кубом. Докажите, что ШАР кубом не является. (КУБ и ШАР — трёхзначные числа, разные буквы обозначают различные цифры.)

В тюрьме Кощея пять камер, пронумерованных числами от1до5. В каждой камере сидит по одному узнику. Василиса уговорила Кощея провести эксперимент: на стене каждой камеры она один раз напишет какой-нибудь номер и в полночь каждый узник перейдёт в камеру с указанным номером (если номер на стене совпадает с номером камеры, то узник никуда не переходит). В следующую полночь узники опять должны перейти из камеры в камеру согласно указаниям на стене, и так они действуют в течение пяти ночей. Если расположение узников в камерах в течение всех шести дней (включая первый) ни разу не повторится, то Василисе дадут звание Премудрой, а узников отпустят. Помогите Василисе написать номера в камерах.

В квадрате 4×4 клетки левой половины покрашены в чёрный цвет, а остальные – в белый. За одну операцию разрешается перекрасить в противоположный цвет все клетки внутри любого прямоугольника. Как за три операции из первоначальной раскраски получить шахматную?

Назовем число зеркальным, если справа налево оно читается так же, как слева направо. Например, число78887– зеркальное. Найдите все зеркальные пятизначные числа, в записи которых используются только цифры1и0.

Маша считает, что два арбуза тяжелее трёх дынь, Аня считает, что три арбуза тяжелее четырёх дынь. Известно, что одна из девочек права, а другая ошибается. Верно ли, что 12 арбузов тяжелее 18 дынь? (Считается, что все арбузы весят одинаково и все дыни весят одинаково.)

Женя не успел влезть в лифт на первом этаже дома и решил пойти по лестнице. На третий этаж он поднимается за 2 минуты. Сколько времени у него займет подъем до девятого этажа?

На физическом кружке учитель поставил следующий эксперимент. Он разложил на чашечные весы 16 гирек массами 1, 2, 3, ..., 16 грамм так, что одна из чаш перевесила. Пятнадцать учеников по очереди выходили из класса и забирали с собой по одной гирьке, причем после выхода каждого ученика весы меняли свое положение и перевешивала противоположная чаша весов. Какая гирька могла остаться на весах?

В саду у Ани и Вити росло 2006 розовых кустов. Витя полил половину всех кустов, и Аня полила половину всех кустов. При этом оказалось, что ровно три куста, самые красивые, были политы и Аней, и Витей. Сколько розовых кустов остались не политыми?

Таня стоит на берегу речки. У неё есть два глиняных кувшина: один — на 5 литров, а про второй Таня помнит лишь то, что он вмещает то ли 3, то ли 4 литра. Помогите Тане определить ёмкость второго кувшина. (Заглядывая в кувшин, нельзя понять, сколько в нём воды.)

<b>Домашнее задание.</b>Прорежьте в тетрадном листе дырку такого размера, чтобы Вы сами могли в нее пролезть.

Назовем натуральное число "изумительным", если оно имеет вид a^b+ b^a(где a и b - натуральные числа). Например, число 57 - изумительное, так как 57 = 2⁵+ 5². Является ли изумительным число 2006?

Мальчик Стёпа говорит: позавчера мне было 10 лет, а в следующем году мне исполнится 13. Может ли такое быть?

31-го декабря Антон сказал, что после Нового Года всё, сказанное им до Нового Года станет ложью. Правду ли он сказал?

Король устроил испытание жениху своей дочери. В одну из трех комнат он посадил принцессу, в другую - тигра, а последнюю комнату оставил пустой. Известно, что табличка на той двери, где сидит принцесса, истинна, где тигр - ложна, а про табличку на третьей комнате ничего не известно. Таблички эти таковы: <div align="center"> <table border> <tr align="center"> <td>1</td> <td>2</td> <td>3</td> </tr> <tr align="center"> <td>Комната 3 пуста</td> <td>Тигр в комнате 1</td> <td>Эта комната пуста</td> </tr> </table> </div> Сможет ли принц правильно угадать комнату с принцессой?

В классе все увлекаются математикой или биологией. Сколько человек в классе, если математикой занимаются 15 человек, биологией – 20, а математикой и биологией – 10?

Фили и Кили играют в шахматы. Кроме шахматной доски у них есть одна ладья, которую они поставили в правый нижний угол, и делают ей ходы по очереди, причем ходить разрешается только вверх или влево (на любое количество клеток). Кто не может сделать хода, тот проиграл. Кили ходит первым. Кто выиграет при правильной игре?

2002 год — год-палиндром, то есть одинаково читается справа налево и слева направо. Предыдущий год-палиндром был 11 лет назад (1991). Какое максимальное число годов-непалиндромов может идти подряд (между 1000 и 9999 годами)?

Решите ребус:  БАО×БА×Б = 2002.

Решите ребус:  АХ&timesУХ = 2001.

Шифр кодового замка является двузначным числом. Буратино забыл код, но помнит, что сумма цифр этого числа, сложенная с их произведением, равна самому числу. Напишите все возможные варианты кода, чтобы Буратино смог быстрее открыть замок.