Олимпиадные задачи по теме «Комплексные числа» для 9 класса - сложность 2 с решениями

Докажите, что если каждое из двух чисел является суммой квадратов двух целых чисел, то и их произведение является суммой квадратов двух целых чисел.

Найдите все натуральные  <i>n</i> > 2,  для которых многочлен  <i>xⁿ + x</i>² + 1  делится на многочлен  <i>x</i>² + <i>x</i> + 1.

Представить гомотетию  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61153/problem_61153_img_2.gif">  с центром в точке <i>i</i> с коэффициентом 2 в виде композиции параллельного переноса и гомотетии с центром в точке <i>O</i>.

Как представить в виде  <i>w = f</i>(<i>z</i>)  симметрию относительно прямой <i>l</i>, проходящей через начало координат под углом φ к оси <i>Ox</i>?

Каким геометрическим преобразованиям плоскости соответствуют следующие отображения:

  а)  <i>w = z + a</i>;   б) <i>w</i> = 2<i>z</i>;   в) <i>w</i> = <i>z</i>(cos φ + <i>i</i> sin φ);   г)   <i>w</i> = <span style="text-decoration: overline;"><i>z</i></span> ?

Во что перейдёт угол градусной меры α вершиной в начале координат в результате преобразования  <i>w = z</i>³?

Во что перейдёт треугольник с вершинами в точках: 0,  1 – <i>i</i>,  1 + <i>i</i>  в результате преобразования  <img align="absMIDDLE" src="/storage/problem-media/61148/problem_61148_img_2.gif">

Пусть <i>P</i>(<i>xⁿ</i>) делится на  <i>x</i> – 1.  Докажите, что <i>P</i>(<i>xⁿ</i>) делится на  <i>xⁿ</i> – 1.

Пусть <i>z</i>₁, <i>z</i>₂, ..., <i>z_n</i> – вершины выпуклого многоугольника. Найдите геометрическое место точек  <i>z</i> = λ₁<i>z</i>₁ + λ₂<i>z</i>₂ + ... + λ<i>_nz_n</i>,  где λ₁, λ₂, ..., λ_<i>n</i> – такие действительные положительные числа, что  λ₁ + λ₂ + ... + λ_<i>n</i> = 1.

Пусть <i>z</i>₁, ..., <i>z_n</i> – отличные от нуля комплексные числа, лежащие в полуплоскости  α < arg <i>z</i> < α + π.  Докажите, что

  а)  <i>z</i>₁ + ... + <i>z_n</i> ≠ 0;

  б)  ¹/_<i>z</i>₁ + ... + ¹/_{<i>z_n</i>} ≠ 0.

Используя разложение  (1 + <i>i</i>)^<i>n</i>  по формуле бинома Ньютона, найдите:

  а)   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61126/problem_61126_img_2.gif">   б)   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61126/problem_61126_img_3.gif">

Пусть многочлен с действительными коэффициентами <i>f</i>(<i>x</i>) имеет корень  <i>a + ib</i>.  Докажите, что число  <i>a – ib</i>  также будет корнем <i>f</i>(<i>x</i>).

Решите уравнения:

 а)  <i>z</i>⁴ = <img width="12" height="14" align="BOTTOM" border="0" src="/storage/problem-media/61112/problem_61112_img_2.gif">⁴;   б)  <i>z</i>² + |<i>z</i>| = 0;   в)  <i>z</i>² + <img width="12" height="14" align="BOTTOM" border="0" src="/storage/problem-media/61112/problem_61112_img_2.gif"> = 0;   г)  <i>z</i>² + |<i>z</i>|² = 0;   д)  (<i>z + i</i>)⁴ = (<i>z – i</i>)⁴;   е)  <i>z</i>³ – <img width="12" height="14" align="BO...

Найдите все значения корней:

  a)  <img width="23" height="37" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61110/problem_61110_img_2.gif">;   б)  <img width="39" height="35" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61110/problem_61110_img_3.gif">;   в)  <img width="43" height="35" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61110/problem_61110_img_4.gif">;   г)  <img width="51" height="35" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61110/problem_61110_img_5.gif">;   д)  <img width="39" height="35"...

Докажите равенство  <img align="absMIDDLE" src="/storage/problem-media/61107/problem_61107_img_2.gif">

Решите уравнение  <i>x</i>⁴ + <i>x</i>³ + <i>x</i>² + <i>x</i> + 1 = 0.

Докажите, что все корни уравнения  <i>zⁿ</i> = 1  могут быть записаны в виде  1, α, α², ..., α^<i>n</i>–1.

  Докажите две формулы Муавра. Первая из них дает правило возведения в степень комплексного числа, представленного в тригонометрической форме <i>z</i> = <i>r</i>(cos φ + <i>i</i>sin φ):   <i>zⁿ = rⁿ</i>(cos <i>n</i>φ + <i>i</i>sin <i>n</i>φ)  (<i>n</i> ≥ 1).

  Вторая позволяет вычислять все <i>n</i> корней <i>n</i>-й степени из данного числа:   <img align="absMIDDLE" src="/storage/problem-media/61088/problem_61088_img_2.gif">

Постройте график функции  <i>y</i>(<i>x</i>) = |<i>x</i> + <img width="61" height="36" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61085/problem_61085_img_2.gif">|  с учётом возможных мнимых значений подкоренного выражения (<i>x</i> — произвольное действительное).

Докажите, что если  |<i>z</i>| = 1  (<i>z</i> ≠ –1),  то для некоторого действительного <i>t</i> справедливо равенство  <i>z</i> = (1 + <i>it</i>)(1 – <i>it</i>)^–1.

Как выглядит формула для корней биквадратного уравнения   <i>x</i>⁴ + <i>px</i>² + <i>q</i> = 0,  если  <i>p</i>² – 4<i>q</i> < 0?

Решите в комплексных числах уравнения:

  а)  <i>z</i>⁴ – 4<i>z</i>³ + 6<i>z</i>² – 4<i>z</i> – 15 = 0;   б)  <i>z</i>³ + 3<i>z</i>² + 3<i>z</i> + 3 = 0;   в)  <i>z</i>⁴ + (<i>z</i> – 4)⁴ = 32;   г)  <img align="absMIDDLE" src="/storage/problem-media/61082/problem_61082_img_2.gif">

Докажите, что если  <i>x + iy</i> = (<i>s + it</i>)^<i>n</i>,  то  <i>x</i>² + <i>y</i>² = (<i>s</i>² + <i>t</i>²)^<i>n</i>.

Докажите, что на комплексной плоскости равенством  |<i>z – a</i>| = <i>k</i>|<i>z – b</i>|  при  <i>k</i> ≠ 1  задается окружность (<i>a</i> и <i>b</i>  – действительные числа).

Изобразите на комплексной плоскости множество точек <i>z</i>, удовлетворяющих условию  |<i>z</i> – 1 – <i>i</i>| = 2|<i>z</i> + 1 – <i>i</i>|.