Задача
Докажите, что если |z| = 1 (z ≠ –1), то для некоторого действительного t справедливо равенство z = (1 + it)(1 – it)–1.
Решение
Выразим t через z: t = i(1 – z)(1 + z)–1.
Сначала найдём значения t, которые соответствуют точкам z, лежащим на единичной окружности. Пусть z = cos φ + isin φ. Представим числа 1 – z и 1 + z в тригонометрической форме: 1 – z = 2 cos φ+π/2 (cos φ+π/2 + isin φ+π/2), 1 + z = 2 cos φ/2 (cos φ/2 + isin φ/2).
Подставляя эти представления в формулу для t, находим, что t = tg φ/2. Обратные вычисления показывают, что выбирая t именно таким образом, мы получим все точки единичной окружности кроме точки z = –1.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет