Олимпиадные задачи по теме «Комплексные числа» для 10 класса - сложность 2 с решениями

Среди комплексных чисел <i> p </i>, удовлетворяющих условию  |<i>p</i> – 25<i>i</i>| ≤ 15,  найти число с наименьшим аргументом.

Докажите, что если каждое из двух чисел является суммой квадратов двух целых чисел, то и их произведение является суммой квадратов двух целых чисел.

Найдите все натуральные  <i>n</i> > 2,  для которых многочлен  <i>xⁿ + x</i>² + 1  делится на многочлен  <i>x</i>² + <i>x</i> + 1.

После экспериментов с мнимой единицей, Коля Васин занялся комплексной экспонентой. Пользуясь формулами задачи <a href="https://mirolimp.ru/tasks/161115">161115</a>, он смог доказать, что  sin <i>x</i>  всегда равен нулю, а  cos <i>x</i>  – единице: <div align="center"><img src="/storage/problem-media/61540/problem_61540_img_2.gif">    <img src="/storage/problem-media/61540/problem_61540_img_3.gif"></div>Где ошибка в приведённых равенствах?

Точки <i>a</i>₁, <i>a</i>₂ и <i>a</i>₃ расположены на единичной окружности  <i>z<span style="text-decoration: overline;">z</span></i> = 1.

Докажите, что точка  <i>h = a</i>₁ + <i>a</i>₂ + <i>a</i>₃  является ортоцентром треугольника с вершинами в точках <i>a</i>₁, <i>a</i>₂ и <i>a</i>₃.

Пусть уравнение некоторой прямой или окружности имеет вид  <i>Az<span style="text-decoration: overline;">z</span> + Bz – <span style="text-decoration: overline;">B</span> <span style="text-decoration: overline;">z</span> + C</i> = 0.  Пусть образ этой линии при отображении  <img width="100" align="absMIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61189/problem_61189_img_2.gif">  задается уравнением  <i>A'z<span style="text-decoration: overline;">z</span> + B'z – <span style="text-decoration: overline;">B'</span> <span style="text-decoration: overline;">z</span> + C'</i>...

Представьте в виде композиции дробно-линейного отображения   <i>w</i> = <img width="37" height="35" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61187/problem_61187_img_2.gif">  и комплексного сопряжения   <i>w = <span style="text-decoration: overline;">z</span></i>  инверсию относительно окружности

  а) с центром <i>i</i> и радиусом <i>R</i> = 1;

  б) с центром  <i>Re</i>^<i>i</i>φ  и радиусом <i>R</i>;

  в) с центром <i>z</i>₀ и радиусом <i>R</i>.

Докажите, что отображение  <i>w</i> = <img width="14" height="34" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61186/problem_61186_img_2.gif">  является инверсией относительно единичной окружности.

Докажите, что уравнение окружности (или прямой) на комплексной плоскости всегда может быть записано в виде  <i>Az<span style="text-decoration: overline;">z</span> + Bz – <span style="text-decoration: overline;">B</span> <span style="text-decoration: overline;">z</span> + C</i> = 0,  где <i>A</i> и <i>C</i> – чисто мнимые числа.

Как изменяется двойное отношение  <i>W</i>(<i>z</i>₁, <i>z</i>₂, <i>z</i>₃, <i>z</i>₄)  при действии отображения  <img width="100" align="absMIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61182/problem_61182_img_2.gif">?

<i>Двойным отношением</i> четырёх комплесных чисел называется число   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61181/problem_61181_img_2.gif">   (см. задачу <a href="https://mirolimp.ru/tasks/161180">161180</a>). Пусть <i>w</i>₁, <i>w</i>₂, <i>w</i>₃, <i>w</i>₄ – четыре точки плоскости, в которые дробно-линейное отображение  <img width="100" align="absMIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61181/problem_61181_img_3.gif">  переводит данные четыре точки <i>z</i>₁, <i>z</i><sub>2&l...

Докажите, что условием того, что четыре точки <i>z</i>₀, <i>z</i>₁, <i>z</i>₂, <i>z</i>₃ лежат на одной окружности (или прямой) является вещественность числа   <img align="absMIDDLE" src="/storage/problem-media/61180/problem_61180_img_2.gif">

Докажите, что уравнение прямой на комплексной плоскости всегда может быть записано в виде  <i>Bz</i> – <span style="text-decoration: overline;"><i>B</i></span> <span style="text-decoration: overline;"><i>z</i></span> + <i>C</i> = 0,  где <i>C</i> – чисто мнимое число.

Докажите, что дробно-линейные отображения являются взаимно-однозначными отображениями расширенной комплексной плоскости.

Как действуют отображения  <img width="80" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61159/problem_61159_img_2.gif">  и  <img width="80" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61159/problem_61159_img_3.gif">  в случае, когда  δ = <i>ad – bc</i> = 0?

Представить гомотетию  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61153/problem_61153_img_2.gif">  с центром в точке <i>i</i> с коэффициентом 2 в виде композиции параллельного переноса и гомотетии с центром в точке <i>O</i>.

Как представить в виде  <i>w = f</i>(<i>z</i>)  симметрию относительно прямой <i>l</i>, проходящей через начало координат под углом φ к оси <i>Ox</i>?

Каким геометрическим преобразованиям плоскости соответствуют следующие отображения:

  а)  <i>w = z + a</i>;   б) <i>w</i> = 2<i>z</i>;   в) <i>w</i> = <i>z</i>(cos φ + <i>i</i> sin φ);   г)   <i>w</i> = <span style="text-decoration: overline;"><i>z</i></span> ?

Во что перейдёт угол градусной меры α вершиной в начале координат в результате преобразования  <i>w = z</i>³?

Во что перейдёт треугольник с вершинами в точках: 0,  1 – <i>i</i>,  1 + <i>i</i>  в результате преобразования  <img align="absMIDDLE" src="/storage/problem-media/61148/problem_61148_img_2.gif">

Пусть <i>P</i>(<i>xⁿ</i>) делится на  <i>x</i> – 1.  Докажите, что <i>P</i>(<i>xⁿ</i>) делится на  <i>xⁿ</i> – 1.

Пусть <i>z</i>₁, <i>z</i>₂, ..., <i>z_n</i> – вершины выпуклого многоугольника. Найдите геометрическое место точек  <i>z</i> = λ₁<i>z</i>₁ + λ₂<i>z</i>₂ + ... + λ<i>_nz_n</i>,  где λ₁, λ₂, ..., λ_<i>n</i> – такие действительные положительные числа, что  λ₁ + λ₂ + ... + λ_<i>n</i> = 1.

Пусть <i>z</i>₁, ..., <i>z_n</i> – отличные от нуля комплексные числа, лежащие в полуплоскости  α < arg <i>z</i> < α + π.  Докажите, что

  а)  <i>z</i>₁ + ... + <i>z_n</i> ≠ 0;

  б)  ¹/_<i>z</i>₁ + ... + ¹/_{<i>z_n</i>} ≠ 0.

Используя разложение  (1 + <i>i</i>)^<i>n</i>  по формуле бинома Ньютона, найдите:

  а)   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61126/problem_61126_img_2.gif">   б)   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61126/problem_61126_img_3.gif">

Перепишите формулы Муавра (см. задачу <a href="https://mirolimp.ru/tasks/161088">161088</a>), используя вместо тригонометрических функций комплексную экспоненту.