Олимпиадные задачи по математике для 8-9 класса - сложность 3 с решениями

К плоскости приклеены два непересекающихся не обязательно одинаковых деревянных круга – серый и чёрный. Дан бесконечный деревянный угол, одна сторона которого серая, а другая – чёрная. Его передвигают так, чтобы круги были снаружи угла, причём серая сторона касалась серого круга, а чёрная – чёрного (касание происходит не в вершине). Докажите, что внутри угла можно нарисовать луч, выходящий из вершины, так, чтобы при всевозможных положениях угла этот луч проходил через одну и ту же точку плоскости.

К плоскости приклеены два непересекающихся деревянных круга одинакового размера – серый и чёрный. Дан деревянный треугольник, одна сторона которого серая, а другая – чёрная. Его передвигают так, чтобы круги были снаружи треугольника, причём серая сторона касалась серого круга, а чёрная – чёрного (касание происходит не в вершинах). Докажите, что прямая, содержащая биссектрису угла между серой и чёрной сторонами, всегда проходит через одну и ту же точку плоскости.

Два квадрата расположены, как показано на рисунке. Докажите, что площадь чёрного треугольника равна сумме площадей серых. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/66139/problem_66139_img_2.gif"></div>

Вершины треугольника обозначены буквами <i>A, B, C</i> по часовой стрелке. Треугольник последовательно поворачивают по часовой стрелке: сначала вокруг вершины <i>A</i> на угол, равный углу <i>A</i>, потом – вокруг вершины <i>B</i> на угол, равный углу <i>B</i>, и так далее по циклу (каждый раз поворот делают вокруг текущего положения очередной вершины). Докажите, что после шести поворотов треугольник займёт исходное положение.

а) В треугольник <i>ABC</i> вписаны треугольники <i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁ и <i>A</i>₂<i>B</i>₂<i>C</i>₂ так, что  <i>C</i>₁<i>A</i>₁ ⊥ <i>BC</i>,  <i>A</i>₁<i>B</i>₁ ⊥ <i>CA</i>,  <i>B</i>₁<i>C</i>₁ ⊥ <i>AB</i>,  <i>B</i>₂<i>A</i>₂ ⊥ <i>BC</i>,  &...