Олимпиадные задачи по математике для 10 класса
Диагонали прямоугольника $ABCD$ пересекаются в точке $E$. Окружность с центром в точке $E$ лежит внутри прямоугольника. Из вершин $C$, $D$, $A$ проведены касательные к окружности $CF$, $DG$, $AH$, причем $CF$ пересекает $DG$ в точке $I$, $EI$ пересекает $AD$ в точке $J$, а прямые $AH$ и $CF$ пересекаются в точке $L$. Докажите, что отрезок $LJ$ перпендикулярен $AD$.
В треугольнике $ABC$ точки $O$ и $H$ – центр описанной окружности и ортоцентр соответственно. Известно, что $BH$ – биссектриса угла $ABO$. Отрезок из точки $O$, параллельный стороне $AB$, пересекает сторону $AC$ в точке $K$. Докажите, что $AH=AK$.
Дан прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$, вне треугольника взята точка $D$, так что $\angle ADC=\angle BAC$ и отрезок $CD$ пересекает гипотенузу $AB$ в точке $E$. Известно, что расстояние от точки $E$ до катета $AC$ равно радиусу описанной окружности треугольника $ADE$. Найдите углы треугольника $ABC$.
В равнобедренной трапеции <i>ABCD</i> с основаниями <i>BC</i> и <i>AD</i> диагонали <i>AC</i> и <i>BD</i> перпендикулярны. Из точки <i>D</i> опущен перпендикуляр <i>DE</i> на сторону <i>AB</i>, а из точки <i>C</i> – перпендикуляр <i>CF</i> на прямую <i>DE</i>. Докажите, что ∠<i>DBF</i> = ½ ∠<i>FCD</i>.
На стороне <i>AD</i> квадрата <i>ABCD</i> во внутреннюю сторону построен тупоугольный равнобедренный треугольник <i>AED</i>. Вокруг него описана окружность и проведён её диаметр <i>AF</i>, на стороне <i>CD</i> выбрана точка <i>G</i> так, что <i>CG = DF</i>. Докажите, что угол <i>BGE</i> меньше половины угла <i>AED</i>.
На окружности радиуса <i>R</i> с диаметром <i>AD</i> и центром <i>O</i> выбраны точки <i>B</i> и <i>С</i> по одну сторону от этого диаметра. Около треугольников <i>ABO</i> и <i>CDO</i> описаны окружности, пересекающие отрезок <i>BC</i> в точках <i>F</i> и <i>E</i>. Докажите, что <i>AF·DE = R</i>².
Дан четырёхугольник <i>ABCD</i>, в котором <i>AC = BD = AD</i>; точки <i>E</i> и <i>F</i> – середины <i>AB</i> и <i>CD</i> соответственно; <i>O</i> – точка пересечения диагоналей четырёхугольника. Докажите, что <i>EF</i> проходит через точки касания вписанной окружности треугольника <i>AOD</i> с его сторонами <i>AO</i> и <i>OD</i>.
Дан прямоугольный треугольник с гипотенузой <i>AC</i>, проведена биссектриса треугольника <i>BD</i>; отмечены середины <i>E</i> и <i>F</i> дуг <i>BD</i> окружностей, описанных около треугольников <i>ADB</i> и <i>CDB</i> соответственно (сами окружности не проведены). Постройте одной линейкой центры окружностей.
Вокруг равнобедренного треугольника <i>ABC</i> с основанием <i>AB</i> описана окружность и в точке <i>B</i> проведена касательная к ней. Из точки <i>C</i> проведён перпендикуляр <i>CD</i> к этой касательной, также проведены высоты <i>AE</i> и <i>BF</i>. Докажите, что точки <i>D, E, F</i> лежат на одной прямой.
Дан прямоугольный треугольник <i>ABC</i>. На катете <i>AB</i> во внешнюю сторону построен равносторонний треугольник <i>ADB</i>, а на гипотенузе <i>AC</i> во внутреннюю сторону – равносторонний треугольник <i>AEC</i>. Прямые <i>DE</i> и <i>AB</i> пересекаются в точке <i>M</i>. Весь чертёж стерли, оставив только точки <i>A</i> и <i>B</i>. Восстановите точку <i>M</i>.