Олимпиадные задачи по математике - сложность 4 с решениями
Cерединные перпендикуляры к сторонам <i>BC</i> и <i>AC</i> остроугольного треугольника <i>ABC</i> пересекают прямые <i>AC</i> и <i>BC</i> в точках <i>M</i> и <i>N</i>. Пусть точка <i>C</i> движется по описанной окружности треугольника <i>ABC</i>, оставаясь в одной полуплоскости относительно <i>AB</i> (при этом точки <i>A</i> и <i>B</i> неподвижны). Докажите, что прямая <i>MN</i> касается фиксированной окружности.
В треугольнике<i> ABC </i>угол<i> A </i>равен60<i><sup>o</sup> </i>. Пусть<i> BB<sub>1</sub> </i>и<i> CC<sub>1</sub> </i> — биссектрисы этого треугольника. Докажите, что точка, симметричная вершине A относительно прямой<i> B<sub>1</sub>C<sub>1</sub> </i>, лежит на стороне<i> BC </i>.
В остроугольном неравнобедренном треугольнике <i>ABC</i> высоты <i>CC</i><sub>1</sub> и <i>BB</i><sub>1</sub> пересекают прямую, проходящую через вершину <i>A</i> и параллельную прямой <i>BC</i>, в точках <i>P</i> и <i>Q</i>. Пусть <i>A</i><sub>0</sub> – середина стороны <i>BC</i>, а <i>AA</i><sub>1</sub> – высота. Прямые <i>A</i><sub>0</sub><i>C</i><sub>1</sub> и <i>A</i><sub>0</sub><i>B</i><sub>1</sub> пересекают прямую <i>PQ</i> в точках <i>K</i> и <i>L</i>. Докажите, что описанные окружности...
а) Вписанная окружность треугольника <i>ABC</i> касается сторон <i>AC</i> и <i>AB</i> в точках <i>B</i><sub>0</sub> и <i>C</i><sub>0</sub> соответственно. Биссектрисы углов <i>B</i> и <i>C</i> треугольника <i>ABC</i> пересекают серединный перпендикуляр к биссектрисе <i>AL</i> в точках <i>Q</i> и <i>P</i> соответственно. Докажите, что прямые <i>PC</i><sub>0</sub> и <i>QB</i><sub>0</sub> пересекаются на прямой <i>BC</i>.б) В треугольнике <i>ABC</i> провели биссектрису <i>AL</i>. Точки <i>O</i><sub>1</sub> и <i>O</i><s...