Олимпиадные задачи по математике - сложность 2 с решениями

Две окружности пересекаются в точках <i>P</i> и <i>Q</i>. Tочка <i>A</i> лежит на первой окружности, но вне второй. Прямые <i>AP</i> и <i>AQ</i> пересекают вторую окружность в точках <i>B</i> и <i>C</i> соответственно. Укажите положение точки <i>A</i>, при котором треугольник <i>ABC</i> имеет наибольшую площадь.

В треугольнике <i>ABC  AA</i>₁ и <i>BB</i>₁ – высоты. На стороне <i>AB</i> выбраны точки <i>M</i> и <i>K</i> так, что  <i>B</i>₁<i>K || BC</i>  и  <i>MA</i>₁ || <i>AC</i>.  Докажите, что  ∠<i>AA</i>₁<i>K</i> = ∠<i>BB</i>₁<i>M</i>.

Точки <i>B</i>₁ и <i>B</i>₂ лежат на луче <i>AM</i>, а точки <i>C</i>₁ и <i>C</i>₂ на луче <i>AK</i>. Окружность с центром <i>O</i> вписана в треугольники <i>AB</i>₁<i>C</i>₁ и <i>AB</i>₂<i>C</i>₂.

Докажите, что углы <i>B</i>₁<i>OB</i>₂ и <i>C</i>₁<i>OC</i>₂ равны.

В треугольник <i>ABC</i> вписан ромб <i>CKLN</i> так, что точка <i>L</i> лежит на стороне <i>AB</i>, точка <i>N</i> – на стороне <i>AC</i>, точка <i>K</i> – на стороне <i>BC</i>. Пусть <i>O</i>₁, <i>O</i>₂ и <i>O</i> – центры описанных окружностей треугольников <i>ACL, BCL</i> и <i>ABC</i> соответственно. Пусть <i>P</i> – точка пересечения описанных окружностей треугольников <i>ANL</i> и <i>BKL</i>, отличная от <i>L</i>. Докажите, что точки <i>O</i>₁, <i>O</i>₂, <i>O&lt...

На продолжениях сторон <i>CA</i> и <i>AB</i> треугольника <i>ABC</i> за точки <i>A</i> и <i>B</i> соответственно отложены отрезки <i>AE = BC</i> и <i>BF = AC</i>. Окружность касается отрезка <i>BF</i> в точке <i>N</i>, стороны <i>BC</i> и продолжения стороны <i>AC</i> за точку <i>C</i>. Точка <i>M</i> – середина отрезка <i>EF</i>. Докажите, что прямая <i>MN</i> параллельна биссектрисе угла <i>A</i>.

У листа бумаги только один ровный край. Лист согнули, потом разогнули обратно. <i>A</i> – общая точка ровного края и линии сгиба. Постройте перпендикуляр к этой линии в точке <i>A</i>. Сделайте это без помощи чертёжных инструментов, а лишь перегибая бумагу.

Через вершины <i>B</i> и <i>C</i> треугольника <i>ABC</i> провели перпендикулярно прямой <i>BC</i> прямые <i>b</i> и <i>c</i> соответственно. Серединные перпендикуляры к сторонам <i>AC</i> и <i>AB</i> пересекают прямые <i>b</i> и <i>c</i> в точках <i>P</i> и <i>Q</i> соответственно. Докажите, что прямая <i>PQ</i> перпендикулярна медиане <i>AM</i> треугольника <i>ABC</i>.

В остроугольном треугольнике <i>ABC  AA</i>₁, <i>BB</i>₁ и <i>CC</i>₁ – высоты. Прямые <i>AA</i>₁ и <i>B</i>₁<i>C</i>₁ пересекаются в точке <i>K</i>. Окружности, описанные вокруг треугольников <i>A</i>₁<i>KC</i>₁ и <i>A</i>₁<i>KB</i>₁, вторично пересекают прямые <i>AB</i> и <i>AC</i> в точках <i>N</i> и <i>L</i> соответственно. Докажите, что

  а) сумма диаметров этих окружностей равна...