Олимпиадные задачи по математике для 10-11 класса
На основании <i>AD</i> и боковой стороне <i>AB</i> равнобедренной трапеции <i>ABCD</i> взяты точки <i>E, F</i> соответственно так, что <i>CDEF</i> – также равнобедренная трапеция. Докажите, что <i>AE·ED = AF·FB</i>.
Докажите, что на графике функции <i>y = x</i>³ можно отметить такую точку <i>A</i>, а на графике функции <i>y = x</i>³ + |<i>x</i>| + 1 – такую точку <i>B</i>, что расстояние <i>AB</i> не превышает <sup>1</sup>/<sub>100</sub>.
Верно ли, что на графике функции <i>y = x</i>³ можно отметить такую точку <i>A</i>, а на графике функции <i>y = x</i>³ + |<i>x</i>| + 1 – такую точку <i>B</i>, что расстояние <i>AB</i> не превысит <sup>1</sup>/<sub>100</sub>?
На сторонах треугольника <i>ABC</i> вовне построены квадраты <i>ABB</i><sub>1</sub><i>A</i><sub>2</sub>, <i>BCC</i><sub>1</sub><i>B</i><sub>2</sub> и <i>CAA</i><sub>1</sub><i>C</i><sub>2</sub>. На отрезках <i>A</i><sub>1</sub><i>A</i><sub>2</sub> и <i>B</i><sub>1</sub><i>B</i><sub>2</sub> также во внешнюю сторону от треугольников <i>AA</i><sub>1</sub><i>A</i><sub>2</sub> и <i>BB</i><sub>1</sub><i>B</i><sub>2</sub> построены квадраты <i>A</...
Один квадрат вписан в окружность, а другой квадрат описан около той же окружности так, что его вершины лежат на продолжениях сторон первого (см. рисунок). Найдите угол между сторонами этих квадратов. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/66141/problem_66141_img_2.gif"></div>