Олимпиадные задачи по математике для 9-11 класса - сложность 3 с решениями

Существует ли конечное слово из букв русского алфавита, в котором нет двух соседних одинаковых подслов, но таковые появляются при приписывании (как справа, так и слева) любой буквы русского алфавита.Комментарий.<i>Словом</i>мы называем любую последовательность букв русского алфавита, не обязательно осмысленную,<i>подсловом</i>называется любой фрагмент слова. Например, АБВШГАБ - слово, а АБВ, Ш, ШГАБ - его подслова.

В стране несколько городов, соединённых дорогами с односторонним и двусторонним движением. Известно, что из каждого города в любой другой можно проехать ровно одним путём, не проходящим два раза через один и тот же город. Докажите, что страну можно разделить на три губернии так, чтобы ни одна дорога не соединяла два города из одной губернии.

Докажите, что на графике функции  <i>y = x</i>³ можно отметить такую точку <i>A</i>, а на графике функции  <i>y = x</i>³ + |<i>x</i>| + 1  – такую точку <i>B</i>, что расстояние <i>AB</i> не превышает ¹/₁₀₀.

Существуют ли такие иррациональные числа <i>a</i> и <i>b</i>, что  <i>a </i> > 1,  <i>b</i> > 1,  и  [<i>a^m</i>]  отлично от  [<i>bⁿ</i>]  при любых натуральных числах <i>m</i> и <i>n</i>?

Верно ли, что на графике функции  <i>y = x</i>³  можно отметить такую точку <i>A</i>, а на графике функции  <i>y = x</i>³ + |<i>x</i>| + 1  – такую точку <i>B</i>, что расстояние <i>AB</i> не превысит ¹/₁₀₀?