Олимпиадные задачи по математике для 5-10 класса
На плоскости расположено такое конечное множество точек <i>M</i>, что никакие три точки не лежат на одной прямой. Некоторые точки соединены друг с другом отрезками так, что из каждой точки выходит не более одного отрезка. Разрешается заменить пару пересекающихся отрезков <i>AB</i> и <i>CD</i> парой противоположных сторон <i>AC</i> и <i>BD</i> четырёхугольника <i>ACBD</i>. В полученной системе отрезков разрешается снова произвести подобную замену, и т. д. Может ли последовательность таких замен быть бесконечной?
Пусть <i>x, y, z</i> – любые числа из интервала (0, <sup>π</sup>/<sub>2</sub>). Докажите неравенство <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/98588/problem_98588_img_2.gif">