Олимпиадные задачи по математике для 5-11 класса
Обозначим через <i>T<sub>k</sub></i>(<i>n</i>) сумму произведений по <i>k</i> чисел от 1 до <i>n</i>. Например, <i>T</i><sub>2</sub>(4) = 1·2 + 1·3 + 1·4 + 2·3 + 2·4 + 3·4.
а) Найдите формулы для <i>T</i><sub>2</sub>(<i>n</i>) и <i>T</i><sub>3</sub>(<i>n</i>).
б) Докажите, что <i>T<sub><i>k</i></sub></i>(<i>n</i>) является многочленом от <i>n</i> степени 2<i>k</i>.
в) Укажите метод нахождения многочленов <i>T</i><sub><i>k</i></sub>(<i>n</i>) при <i>k</i> = 2, 3, 4, ... и примените его для о...
Исследуйте, сколько решений имеет система уравнений
<i>x</i>² + <i>y</i>² + <i>xy = a</i>,
<i>x</i>² – <i>y</i>² = <i>b</i>,
где <i>а</i> и <i>b</i> – некоторые данные действительные числа.
Через точку, взятую внутри произвольного треугольника, параллельно его сторонам проведены отрезки с концами на сторонах треугольника.
Докажите, что сумма трёх отношений этих отрезков к параллельным им сторонам треугольника равна 2.