Олимпиадные задачи по математике - сложность 4 с решениями
Найдите все положительные числа <i>x</i><sub>1</sub>, <i>x</i><sub>2</sub>, ..., <i>x</i><sub>10</sub>, удовлетворяющие при всех <i>k</i> = 1, 2,..., 10 условию (<i>x</i><sub>1</sub> + ... + <i>x<sub>k</sub></i>)(<i>x<sub>k</sub> + ... + x</i><sub>10</sub>) = 1.
Трапеция <i>ABCD</i> вписана в окружность <i>w</i> (<i>AD</i> || <i>BC</i>). Окружности, вписанные в треугольники <i>ABC</i> и <i>ABD</i>, касаются оснований трапеции <i>BC</i> и <i>AD</i> в точках <i>P</i> и <i>Q</i> соответственно. Точки <i>X</i> и <i>Y</i> – середины дуг <i>BC</i> и <i>AD</i> окружности <i>w</i>, не содержащих точек <i>A</i> и <i>B</i> соответственно. Докажите, что прямые <i>XP</i> и <i>YQ</i> пересекаются на окружности <i>w</i>.
В интервале (0;$\pi$) дано <i>n</i> чисел: <!-- MATH $\alpha_{1}$ --> $\alpha_{1}^{}$, <!-- MATH $\alpha_{2}$ --> $\alpha_{2}^{}$, ..., <!-- MATH $\alpha_{n}$ --> $\alpha_{n}^{}$, при этом <!-- MATH $\alpha_{1}+ \alpha_{2}+\ldots+ \alpha_{n}= \pi (n-2)$ --> $\alpha_{1}^{}$ + $\alpha_{2}^{}$ +...+ $\alpha_{n}^{}$ = $\pi$(<i>n</i> - 2). С помощью циркуля и линейки впишите в данную окружность <i>n</i>-угольник, внутренние углы которого равны соответственно <!-- MATH $\alpha_{1}$ --> $\alpha_{1}^{}$, <!-- MATH $\alpha {2}$ --> $\alpha{2}^{}$, ..., <!-- MATH $\alpha_{n}$ --> $\alpha_{n}^{}$. Когда построение возможно?
Даны прямая <i>l</i> и точки <i>A</i> и <i>B</i> по одну сторону от неё. Постройте путь луча из <i>A</i> в <i>B</i>, который отражается от прямой <i>l</i> по следующему закону: угол падения на $\varphi$ меньше угла отражения.
Внутри треугольника <i>ABC</i> с углами <!-- MATH $\angle A = 50^{\circ}$ --> $\angle$<i>A</i> = 50<sup><tt>o</tt></sup>, <!-- MATH $\angle B = 60^{\circ}$ --> $\angle$<i>B</i> = 60<sup><tt>o</tt></sup>, <!-- MATH $\angle C = 70^{\circ}$ --> $\angle$<i>C</i> = 70<sup><tt>o</tt></sup> взята точка <i>M</i>, причём <!-- MATH $\angle AMB = 110^{\circ}$ --> $\angle$<i>AMB</i> = 110<sup><tt>o</tt></sup>, <!-- MATH $\angle BMC = 130^{\circ}$ --> $\angle$<i>BMC</i> = 130<sup><tt>o</tt></sup>. Найдите <!-- MATH $\angle MBC$ --> $\angle$<i>MBC...
На сторонах <i>AB</i>, <i>BC</i> и <i>AC</i> треугольника <i>ABC</i> взяты соответственно точки <i>D</i>, <i>E</i> и <i>F</i> так, что <i>DE</i> = <i>BE</i>, <i>FE</i> = <i>CE</i>. Докажите, что центр описанной около треугольника <i>ADF</i> окружности лежит на биссектрисе угла <i>DEF</i>.