Задачи и олимпиады по математике

Задача

В интервале (0;$\pi$) дано n чисел: $\alpha_{1}^{}$, $\alpha_{2}^{}$, ..., $\alpha_{n}^{}$, при этом

$\alpha_{1}^{}$ + $\alpha_{2}^{}$ +...+ $\alpha_{n}^{}$ = $\pi$(n - 2). С помощью циркуля и линейки впишите в данную окружность n-угольник, внутренние углы которого равны соответственно $\alpha_{1}^{}$, $\alpha_{2}^{}$, ..., $\alpha_{n}^{}$. Когда построение возможно?

Решение

Предположим, что нужный многоугольник A₁A₂...A_n построен. Пусть $\alpha_{1}^{}$, $\alpha_{2}^{}$, ..., $\alpha_{n}^{}$ — величины углов при его вершинах A₁, A₂, ..., A_n соответственно. Через центр O данной окружности проведём прямые l₁, l₂, ..., l_n, соответственно перпендикулярные сторонам

A₁A₂, A₂A₃, ..., A_nA₁. Тогда углы между прямыми l_n и l₁, l₁ и l₂, ..., l_{n - 1} и l_n соответственно равны

$\pi$ - $\alpha_{1}^{}$, $\pi$ - $\alpha_{2}^{}$, ..., $\pi$ - $\alpha_{n}^{}$, а их сумма равна $\pi$n - $\pi$(n - 2) = 2$\pi$.

При композиции осевых симметрий относительно прямых l₁, l₂, ..., l_n вершина A₁ переходит в себя.

Если n нечётно, то такая композиция есть симметрия относительно некоторой прямой l, а точка A₁ (неподвижная точка этой симметрии) лежит на оси симметрии. В этом случае годится следующее построение.

Через центр O данной окружности проводим прямые l₁, l₂, ..., l_n, последовательно образующие между собой углы

$\pi$ - $\alpha_{2}^{}$, $\pi$ - $\alpha_{3}^{}$, ..., $\pi$ - $\alpha_{n}^{}$,

$\pi$ - $\alpha_{1}^{}$. Строим образ M₁ произвольной точки M данной окружности при композиции симметрий относительно прямых l₁, l₂, ..., l_n. Серединный перпендикуляр к отрезку MM₁ пересекает окружность в искомой вершине A₁.

Остальные вершины искомого n-угольника строятся с помощью симметрий относительно прямых l₁, l₂, ..., l_{n - 1}. В этом случае задача имеет единственное решение (с точностью до движения).

Если же n чётно, то композиция симметрий относительно прямых l₁, l₂, ..., l_n есть поворот на угол

2($\displaystyle \pi$ - $\displaystyle \alpha_{2}^{}$) + 2($\displaystyle \pi$ - $\displaystyle \alpha_{4}^{}$) +...+ 2($\displaystyle \pi$ - $\displaystyle \alpha_{n}^{}$) = $\displaystyle \pi$n - 2($\displaystyle \alpha_{2}^{}$ + $\displaystyle \alpha_{4}^{}$ +...+ $\displaystyle \alpha_{n}^{}$)

вокруг точкиO. Поскольку при этом повороте точкаA₁, отличная от центраOповорота, остается на месте, то это тождественное преобразование. Поэтому

$\displaystyle \pi$n - 2($\displaystyle \alpha_{2}^{}$ + $\displaystyle \alpha_{4}^{}$ +...+ $\displaystyle \alpha_{n}^{}$) = 2$\displaystyle \pi$,

т.е.

$\displaystyle \alpha_{2}^{}$ + $\displaystyle \alpha_{4}^{}$ +...+ $\displaystyle \alpha_{n}^{}$ = $\displaystyle {\frac{\pi(n-2)}{2}}$.

Тогда

$\displaystyle \alpha_{1}^{}$ + $\displaystyle \alpha_{3}^{}$ +...+ $\displaystyle \alpha_{n-1}^{}$ = $\displaystyle \pi$(n - 2) - $\displaystyle {\frac{\pi(n-2)}{2}}$ = $\displaystyle {\frac{\pi(n-2)}{2}}$.

Следовательно,

$\displaystyle \alpha_{1}^{}$ + $\displaystyle \alpha_{3}^{}$ +...+ $\displaystyle \alpha_{n-1}^{}$ = $\displaystyle \alpha_{2}^{}$ + $\displaystyle \alpha_{4}^{}$ +...+ $\displaystyle \alpha_{n}^{}$,

и задача имеет бесконечно много решений. В качестве вершиныA₁можно взять любую точку окружности. Если

$\displaystyle \alpha_{1}^{}$ + $\displaystyle \alpha_{3}^{}$ +...+ $\displaystyle \alpha_{n-1}^{}$$\displaystyle \ne$$\displaystyle \alpha_{2}^{}$ + $\displaystyle \alpha_{4}^{}$ +...+ $\displaystyle \alpha_{n}^{}$,

то решений нет.

Ответ

Построение возможно: при нечётном n — всегда, при чётном — при условии, что

$\displaystyle \alpha_{1}^{}$ + $\displaystyle \alpha_{3}^{}$ +...+ $\displaystyle \alpha_{n-1}^{}$ = $\displaystyle \alpha_{2}^{}$ + $\displaystyle \alpha_{4}^{}$ +...+ $\displaystyle \alpha_{n}^{}$.

Задача

Решение

Ответ

Подтверждение удаления