Олимпиадные задачи по математике - сложность 2 с решениями
Внутри выпуклого четырёхугольника <i>ABCD</i> взята такая точка <i>P</i>, что ∠<i>PBA</i> = ∠<i>PCD</i> = 90°. Точка <i>M</i> – середина стороны <i>AD</i>, причём <i>BM = CM</i>.
Докажите, что ∠<i>PAB</i> = ∠<i>PDC</i>.
Через центр <i>O</i> вписанной в треугольник <i>ABC</i> окружности проведена прямая, перпендикулярная прямой <i>AO</i> и пересекающая прямую <i>BC</i> в точке <i>M</i>.
Из точки <i>O</i> на прямую <i>AM</i> опущен перпендикуляр <i>OD</i>. Докажите, что точки <i>A, B, C</i> и <i>D</i> лежат на одной окружности.
На сторонах прямоугольного треугольника <i>ABC</i> построены во внешнюю сторону квадраты с центрами <i>D, E, F</i>.
Докажите, что отношение <i>S<sub>DEF</sub></i> : <i>S<sub>ABC</sub></i> а) больше 1; б) не меньше 2.