Олимпиадные задачи по математике для 10 класса - сложность 2 с решениями
Куб с ребром <i>n</i> составлен из белых и чёрных кубиков с ребром 1 таким образом, что каждый белый кубик имеет общую грань ровно с тремя чёрными, а каждый чёрный – ровно с тремя белыми. При каких <i>n</i> это возможно?
Натуральные числа <i>m</i> и <i>n</i> таковы, что НОК(<i>m, n</i>) + НОД(<i>m, n</i>) = <i>m + n</i>. Докажите, что одно из чисел <i>m</i> или <i>n</i> делится на другое.
Можно ли из последовательности 1, ½, ⅓, ... выбрать (сохраняя порядок)
а) сто чисел,
б) бесконечную подпоследовательность чисел,
из которых каждое, начиная с третьего, равно разности двух предыдущих (<i>a<sub>k</sub> = a</i><sub><i>k</i>–2</sub> – <i>a</i><sub><i>k</i>–1</sub>)?
На первой горизонтали шахматной доски стоят 8 чёрных ферзей, а на последней – 8 белых ферзей. За какое минимальное число ходов белые ферзи могут обменяться местами с чёрными? Ходят белые и чёрные по очереди, по одному ферзю за ход.
Функции <i>f</i> и <i>g</i> определены на всей числовой прямой и взаимно обратны. Известно, что <i>f</i> представляется в виде суммы линейной и периодической функций: <i>f</i>(<i>x</i>) = <i>kx + h</i>(<i>x</i>), где <i>k</i> – число, <i>h</i> – периодическая функция. Доказать, что <i>g</i> также представляется в таком виде.