Олимпиадные задачи по математике для 8 класса - сложность 2-3 с решениями
Выпуклый многоугольник разбит на параллелограммы. Вершину многоугольника, принадлежащую только одному параллелограмму, назовем хорошей. Докажите, что хороших вершин не менее трех.
Трапеция <i>ABCD</i> такова, что на её боковых сторонах <i>AD</i> и <i>BC</i> существуют такие точки <i>P</i> и <i>Q</i> соответственно, что ∠<i>APB</i> = ∠<i>CPD</i>, ∠<i>AQB</i> = ∠<i>CQD</i>.
Докажите, что точки <i>P</i> и <i>Q</i> равноудалены от точки пересечения диагоналей трапеции.
На стороне<i> BC </i>выпуклого четырёхугольника<i> ABCD </i>взяты точки<i> E </i>и<i> F </i>(точка<i> E </i>ближе к точке<i> B </i>, чем точка<i> F </i>). Известно, что<i> <img src="/storage/problem-media/108185/problem_108185_img_2.gif"> BAE = <img src="/storage/problem-media/108185/problem_108185_img_2.gif"> CDF </i>и<i> <img src="/storage/problem-media/108185/problem_108185_img_2.gif"> EAF = <img src="/storage/problem-media/108185/problem_108185_img_2.gif"> FDE </i>. Докажите, что<i> <img src="/storage/problem-media/108185/problem_108185_img_2.gif"> FAC = <img src="/storage/problem-medi...
Диагонали параллелограмма <i>ABCD</i> пересекаются в точке <i>O</i>. Точка <i>M</i> лежит на прямой <i>AB</i>, причём ∠<i>AMO</i> = ∠<i>MAD</i>.
Докажите, что точка <i>M</i> равноудалена от точек <i>C</i> и <i>D</i>.
На стороне <i>AB</i> параллелограмма <i>ABCD</i> (или на её продолжении) взята точка <i>M</i>, для которой ∠<i>MAD</i> = ∠<i>AMO</i>, где <i>O</i> – точка пересечения диагоналей параллелограмма. Докажите, что <i>MD = MC</i>.