Назад

Олимпиадная задача по планиметрии для 8–9 классов: четырёхугольник ABCD и углы

Задача 208185 • Сложность: 3 • 8-9 класс
Задача

На стороне BC выпуклого четырёхугольника ABCD взяты точки E и F (точка E ближе к точке B , чем точка F ). Известно, что BAE = CDF и EAF = FDE . Докажите, что FAC = EDB .

Решение

Поскольку EAF = FDE , то из точек A и D , лежащих по одну сторону от прямой EF , отрезок EF виден под одним и тем же углом. Значит, точки A , D , E и F лежат на одной окружности. Поэтому AEF + ADF = 180o .

Поскольку AEF – внешний угол треугольника ABE , то

ABE = AEF - BAE = (180o- ADF) - CDF =

=180o-( ADF + CDF) = 180o- ADC.

Значит, четырёхугольник ABCD – вписанный. Поэтому BAC = BDC . Следовательно,

FAC = BAC - BAE - EAF = BDC - CDF - FDE = EDB,

что и требовалось доказать.

Ответ

Ответ задачи отсутствует

Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь

Войти Зарегистрироваться
Комментариев нет