Олимпиадные задачи по математике - сложность 4-5 с решениями
Функция <i>f</i> каждому вектору <i><b>v</b></i> (с общим началом в точке <i>O</i>) пространства ставит в соответствие число <i>f</i>(<i><b>v</b></i>), причём для любых векторов <i><b>u</b>, <b>v</b></i> и любых чисел α, β значение <i>f</i>(α<i><b>u</b></i> + β<i><b>v</b></i>) не превосходит хотя бы одного из чисел <i>f</i>(<i><b>u</b></i>) или <i>f</i>(<i><b>v</b></i>). Какое наибольшее количество значений может принимать такая функция?
Для заданных натуральных чисел <i>k<sub>0</sub></i><<i>k<sub>1</sub></i><<i>k<sub>2</sub></i> выясните, какое наименьшее число корней на промежутке <nobr>[0; 2π)</nobr> может иметь уравнение вида sin<i>(k<sub>0</sub>x</i>)+<i>A<sub>1</sub></i>·sin(<i>k<sub>1</sub>x</i>) +<i>A<sub>2</sub></i>·sin(<i>k<sub>2</sub>x</i>)=0где<i>A<sub>1</sub></i>,<i>A<sub>2</sub></i>– вещественные числа.
а) Доказать, что из трёх положительных чисел всегда можно выбрать такие два числа <i>x</i> и <i>y</i>, что 0 ≤ <img width="38" height="35" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/79520/problem_79520_img_2.gif"> ≤ 1.
б) Верно ли, что указанные два числа можно выбрать из любых четырёх чисел?