Олимпиадные задачи по математике для 6-7 класса - сложность 2 с решениями
На сторонах <i>AB</i> и <i>BC</i> равностороннего треугольника <i>ABC</i> взяты точки <i>D</i> и <i>K</i>, а на стороне <i>AC</i> – точки <i>E</i> и <i>M</i>, причём <i>DA + AE = KC + CM = AB</i>.
Докажите, что угол между прямыми <i>DM</i> и <i>KE</i> равен 60°.
Пусть <i>a, b, c</i> – такие целые неотрицательные числа, что 28<i>a</i> + 30<i>b</i> + 31<i>c</i> = 365. Докажите, что <i>a + b + c</i> = 12.
Найдутся ли натуральные числа <i>x, y</i> и <i>z</i>, удовлетворяющие условию 28<i>x</i> + 30<i>y</i> + 31<i>z</i> = 365?
В некоторых клетках шахматной доски стоят фигуры. Известно, что на каждой горизонтали стоит хотя бы одна фигура, причём в разных горизонталях – разное число фигур. Докажите, что всегда можно отметить 8 фигур так, чтобы в каждой вертикали и каждой горизонтали стояла ровно одна отмеченная фигура.
Прямая отсекает треугольник <i>AKN</i> от правильного шестиугольника <i>ABCDEF</i> так, что <i>AK + AN = AB</i>.
Найдите сумму углов, под которыми отрезок <i>KN</i> виден из вершин шестиугольника (∠<i>KAN</i> + ∠<i>KBN</i> + ∠<i>KCN</i> + ∠<i>KDN</i> + ∠<i>KEN</i> + ∠<i>KFN</i>).
Найдите какие-нибудь четыре попарно различных натуральных числа <i>a, b, c, d</i>, для которых числа <i>a</i>² + 2<i>cd + b</i>² и <i>c</i>² + 2<i>ab + d</i>² являются полными квадратами.
Покажите как любой четырехугольник разрезать на три трапеции (параллелограмм тоже можно считать трапецией).
На доске были написаны 10 последовательных натуральных чисел. Когда стёрли одно из них, то сумма девяти оставшихся оказалась равна 2002.
Какие числа остались на доске?
Может ли произведение двух последовательных натуральных чисел равняться произведению двух последовательных чётных чисел?
На острове Контрастов живут и рыцари, и лжецы. Рыцари всегда говорят правду, лжецы всегда лгут. Некоторые жители заявили, что на острове чётное число рыцарей, а остальные заявили, что на острове нечётное число лжецов. Может ли число жителей острова быть нечётным?
Квадрат разрезали 18 прямыми, из которых девять параллельны одной стороне квадрата, а девять – другой, на 100 прямоугольников. Оказалось, что ровно девять из них – квадраты. Докажите, что среди этих квадратов найдутся два равных между собой.
Шахматный король обошёл всю доску 8×8, побывав на каждой клетке по одному разу, вернувшись последним ходом в исходную клетку.
Докажите, что он сделал чётное число диагональных ходов.
Куб разрезали на 99 кубиков, из которых ровно у одного ребро имеет длину, отличную от 1 (у каждого из остальных ребро равно 1).
Найдите объём исходного куба.
Квадрат разрезали на 25 квадратиков, из которых ровно у одного сторона имеет длину, отличную от 1 (у каждого из остальных сторона равна 1).
Найдите площадь исходного квадрата.
<img align="right" src="/storage/problem-media/97867/problem_97867_img_2.gif">Квадрат разбит на пять прямоугольников так, что четыре угла квадрата являются углами четырёх прямоугольников, площади которых равны между собой, а пятый прямоугольник не имеет общих точек со сторонами квадрата. Докажите, что этот пятый прямоугольник есть квадрат.