Олимпиадные задачи по математике для 4-9 класса
Существует ли такой квадратный трёхчлен <i>P</i>(<i>x</i>) с целыми коэффициентами, что для любого натурального числа <i>n</i>, в десятичной записи которого участвуют одни единицы, число <i>P</i>(<i>n</i>) также записывается одними единицами?
Плоскость разбита двумя семействами параллельных прямых на единичные квадратики. Назовем каемкой квадрата<i>n</i>×<i>n</i>, состоящего из квадратиков разбиения, объединение тех квадратиков, которые хотя бы одной из своих сторон примыкают изнутри к его границе. Докажите, что существует ровно один способ покрытия квадрата100<i>×</i>100, состоящего из квадратиков разбиения, неперекрывающимися каемками пятидесяти квадратов. (Каемки могут и не содержаться в квадрате100<i>× </i>100.)
Игроки <i>A</i> и <i>B</i> по очереди ходят конем на шахматной доске 1994×1994. Игрок <i>A</i> может делать только горизонтальные ходы, то есть такие, при которых конь перемещается на соседнюю горизонталь. Игроку <i>B</i> разрешены только вертикальные ходы, при которых конь перемещается на соседнюю вертикаль. Игрок <i>A</i> ставит коня на поле, с которого начинается игра, и делает первый ход. При этом каждому игроку запрещено ставить коня на то поле, на котором он уже побывал в данной игре. Проигравшим считается игрок, которому некуда ходить. Докажите, что для игрока <i>A</i> существует выигрышная стратегия.
У каждого из жителей города<i> N </i>знакомые составляют не менее 30 населения города. Житель идет на выборы, если баллотируется хотя бы один из его знакомых. Докажите, что можно так провести выборы мэра города<i> N </i>из двух кандидатов, что в них примет участие не менее половины жителей.
Решите в положительных числах систему уравнений <img src="/storage/problem-media/109538/problem_109538_img_2.gif">
Квадратный трёхчлен <i>f</i>(<i>x</i>) разрешается заменить на один из трёхчленов <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/109523/problem_109523_img_2.gif"> или <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/109523/problem_109523_img_3.gif"> Можно ли с помощью таких операций из квадратного трёхчлена <i>x</i>² + 4<i>x</i> + 3 получить трёхчлен <i>x</i>² + 10<i>x</i> + 9?
Найти все такие числа вида 2<sup><i>n</i></sup> (<i>n</i> натурально), что при вычёркивании первой цифры их десятичной записи снова получится степень двойки.