Олимпиадные задачи по математике для 9 класса - сложность 2 с решениями
В остроугольном треугольнике <i>ABC</i> проведены биссектриса <i>AD</i> и высота <i>BE</i>. Докажите, что ∠<i>CED</i> > 45°.
Последовательность чисел <i>a</i><sub>1</sub>, <i>a</i><sub>2</sub>, ... задана условиями <i>a</i><sub>1</sub> = 1, <i>a</i><sub>2</sub> = 143 и <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116589/problem_116589_img_2.gif"> при всех <i>n</i> ≥ 2.
Докажите, что все члены последовательности – целые числа.
Из Южной Америки в Россию 2010 кораблей везут бананы, лимоны и ананасы. Число бананов на каждом корабле равно числу лимонов на остальных кораблях вместе взятых, а число лимонов на каждом корабле равно числу ананасов на остальных кораблях вместе взятых. Докажите, что общее число фруктов делится на 31.
Малыш и Карлсон режут квадратный торт. Карлсон выбирает на нём точку (не на границе). После этого Малыш делает прямолинейный разрез от выбранной точки до края (в любом направлении). Затем Карлсон проводит второй прямолинейный разрез от выбранной точки до края, перпендикулярный первому, и отдаёт меньший из получившихся двух кусков Малышу. Малыш хочет получить хотя бы четверть торта. Может ли Карлсон ему помешать?
У Миши есть 1000 одинаковых кубиков, у каждого из которых одна пара противоположных граней белая, вторая – синяя, третья – красная. Он собрал из них большой куб 10×10×10, прикладывая кубики друг к другу одноцветными гранями. Докажите, что у большого куба есть одноцветная грань.
Существуют ли такие натуральные числа <i>a, b, c, d</i>, что <i>a</i>³ + <i>b</i>³ + <i>c</i>³ + <i>d</i>³ = 100<sup>100</sup> ?
Ненулевые числа <i>a, b, c</i> таковы, что <i>ax</i>² + <i>bx + c > cx</i> при любом <i>x</i>. Докажите, что <i>cx</i>² – <i>bx + a > cx – b</i> при любом <i>x</i>.
Петя задумал натуральное число и для каждой пары его цифр выписал на доску их разность. После этого он стер некоторые разности, и на доске остались числа 2, 0, 0, 7. Какое наименьшее число мог задумать Петя?
На сторонах <i>AB</i> и <i>BC</i> треугольника <i>ABC</i> выбраны точки <i>K</i> и <i>M</i> соответственно так, что <i>KM || AC</i>. Отрезки <i>AM</i> и <i>KC</i> пересекаются в точке <i>O</i>. Известно, что <i>AK = AO</i> и <i>KM = MC</i>. Докажите, что <i>AM = KB</i>.
Натуральные числа от 1 до 200 разбили на 50 множеств.
Докажите, что в одном из них найдутся три числа, являющиеся длинами сторон некоторого треугольника.
Дан правильный 12-угольник <i>A</i><sub>1</sub><i>A</i><sub>2</sub>...<i>A</i><sub>12</sub>.
Можно ли из 12 векторов <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/66104/problem_66104_img_2.gif"> выбрать семь, сумма которых равна нулевому вектору?