Олимпиадная задача по комбинаторной геометрии: одноцветная грань у большого куба (8-9 класс)
Задача
У Миши есть 1000 одинаковых кубиков, у каждого из которых одна пара противоположных граней белая, вторая – синяя, третья – красная. Он собрал из них большой куб 10×10×10, прикладывая кубики друг к другу одноцветными гранями. Докажите, что у большого куба есть одноцветная грань.
Решение
Пусть левая грань кубика разноцветная. Тогда найдутся два соседних разноцветных квадратика. Повернём кубик так, чтобы соответствующие кубики были один над другим. Они образуют 2×1×1-параллелепипед П с разноцветной (скажем, сине-белой) левой гранью. Тогда общая горизонтальная грань кубиков красная, а все вертикальные 2×1-грани П – сине-белые. Рассмотрим 2×1×1-параллелепипед П', примыкающий к П по 2×1-грани. У него есть сине-белая грань, значит, и все его 2×1-грани сине-белые. Так продолжая, видим, что в двойном горизонтальном слое 2×10×10, содержащем П, у всех вертикальных 2×1×1 параллелепипедов есть сине-белая грань, и, значит, общая грань красная. Итак, в двойном слое одинарные слои 1×10×10 соприкасаются по красной грани 10×10, значит, и верхняя грань куба тоже красная.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь