Олимпиадные задачи по математике - сложность 3-4 с решениями

В семейном альбоме есть десять фотографий. На каждой из них изображены три человека: в центре стоит мужчина, слева от мужчины – его сын, а справа – его брат. Какое наименьшее количество различных людей может быть изображено на этих фотографиях, если известно, что все десять мужчин, стоящих в центре, различны?

Найдите <i>x</i>₁₀₀₀, если  <i>x</i>₁ = 4,  <i>x</i>₂ = 6,  и при любом натуральном  <i>n</i> ≥ 3  <i>x_n</i> – наименьшее составное число, большее   2<i>x</i>_<i>n</i>–1 – <i>x</i>_<i>n</i>–2.

В пространстве даны 200 точек. Каждые две из них соединены отрезком, причём отрезки не пересекаются друг с другом. Первый игрок красит каждый отрезок в один из <i>k</i> цветов, затем второй игрок красит в один из тех же цветов каждую точку. Если найдутся две точки и отрезок между ними, окрашенные в один цвет, выигрывает первый игрок, в противном случае второй. Докажите, что первый может гарантировать себе выигрыш, если

  а)  <i>k</i> = 7;   б)  <i>k</i> = 10.

На плоскости даны 2005 точек (никакие три из которых не лежат на одной прямой). Каждые две точки соединены отрезком. Тигр и Осёл играют в следующую игру. Осёл помечает каждый отрезок одной из цифр, а затем Тигр помечает каждую точку одной из цифр. Осёл выигрывает, если найдутся две точки, помеченные той же цифрой, что и соединяющий их отрезок, и проигрывает в противном случае. Доказать, что при правильной игре Осёл выиграет.

В некотором царстве, территория которого имеет форму квадрата со стороной 2 км, царь решает созвать всех жителей к 7 ч вечера к себе во дворец на бал. Для этого он в полдень посылает с поручением гонца, который может передать любое указание любому жителю, который в свою очередь может передать любое указание любому другому жителю и т.д. Каждый житель до поступления указания находится в известном месте (у себя дома) и может передвигаться со скоростью 3 км/ч в любом направлении (по прямой). Доказать, что царь может организовать оповещение так, чтобы все жители успели прийти к началу бала.

Можно ли разбить множество целых чисел на три подмножества так, чтобы для любого целого значения<i>n</i>числа<i>n</i>,<i>n</i>- 50,<i>n</i>+ 1987 принадлежали трём разным подмножествам?

а) Существует ли последовательность натуральных чисел <i>a</i>₁, <i>a</i>₂, <i>a</i>₃, ..., обладающая следующим свойством: ни один член последовательности не равен сумме нескольких других и  <i>a_n ≤ n</i>¹⁰  при любом <i>n</i>? б) Тот же вопрос, если  <i>a_n ≤ n</i><img width="27" height="33" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/79370/problem_79370_img_2.gif">  при любом <i>n</i>.

Имеется несколько гирь, масса каждой из которых равна целому числу. Известно, что их можно разбить на <i>k</i> равных по массе групп.

Доказать, что не менее чем <i>k</i> способами можно убрать одну гирю так, чтобы оставшиеся гири нельзя было разбить на <i>k</i> равных по массе групп.

Доказать, что в выпуклый равносторонний (но не обязательно правильный) пятиугольник можно поместить правильный треугольник так, что одна из его сторон будет совпадать со стороной пятиугольника, а весь треугольник будет лежать внутри этого пятиугольника.

Для каких <i>n</i> существует такая замкнутая несамопересекающаяся ломаная из <i>n</i> звеньев, что каждая прямая, содержащая одно из звеньев этой ломаной, содержит ещё хотя бы одно её звено?

В таблице размерами <i>m×n</i> расставлены числа – в каждой клетке по числу. В каждом столбце подчеркнуто <i>k</i> наибольших чисел  (<i>k ≤ m</i>),  в каждой строке – <i>l</i> наибольших чисел  (<i>l ≤ n</i>).  Докажите, что по крайней мере <i>kl</i> чисел подчёркнуты дважды.

В пространстве даны 200 точек. Каждые две из них соединены отрезком, причём отрезки не пересекаются друг с другом. Каждый отрезок покрашен в один из <i>K</i> цветов. Петя хочет покрасить каждую точку в один из этих цветов так, чтобы не нашлось двух точек и отрезка между ними, окрашенных в один цвет. Всегда ли Пете это удастся, если

  a)  <i>K</i> = 7;   б)  <i>K</i> = 10?