Назад

Олимпиадная задача по теории чисел и последовательностям для 8–10 классов от Конягина

Задача 207984 • Сложность: 3 • 8-10 класс
Задача

Найдите x1000, если  x1 = 4,  x2 = 6,  и при любом натуральном  n ≥ 3  xn – наименьшее составное число, большее   2xn–1 – xn–2.

Авторы:
Конягин С. В.
Разделы:
Теория чисел. Делимость Последовательности Индукция
Источники:
Московская математическая олимпиада 1993 год 9 класс Олимпиады и турниры
Количество версий:
3
Решение

  Докажем по индукции, что &nbspxn = ½ n(n + 3).

  База. При  n = 3, 4  формула верна:  2x2 – x1 = 8,  то есть  x3 = 9;  2x3 – x2 = 12,  то есть  x4 = 14.

  Шаг индукции.  2xn – xn–1 = 2·½ n(n + 3) – ½ (n – 1)(n + 2) = ½ (n + 1)(n + 4) – 1.  По условию, xn+1 – первое составное число, большее чем

½ (n + 1)(n + 4) – 1.  Но число  ½ (n + 1)(n + 4)  – составное. Действительно, если n нечётно, то  ½ (n + 1)(n + 4) = (n + 4)·½ (n + 1).  Каждый из сомножителей – целое число, большее 2. Аналогично рассматривается случай чётного n. Итак,  xn+1 = ½ (n + 1)(n + 4).

  Подставляя  n = 1000 , получаем  x1000 = 500·1003.

Ответ

Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь

Войти Зарегистрироваться
Комментариев нет