Олимпиадные задачи по математике для 4-11 класса - сложность 4 с решениями
Фиксированы две окружности <i>w</i><sub>1</sub> и <i>w</i><sub>2</sub>, одна их внешняя касательная <i>l</i> и одна их внутренняя касательная <i>m</i>. На прямой <i>m</i> выбирается точка <i>X</i>, а на прямой <i>L</i> строятся точки <i>Y</i> и <i>Z</i> так, что <i>XY</i> и <i>XZ</i> касаются <i>w</i><sub>1</sub> и <i>w</i><sub>2</sub> соответственно, а треугольник <i>XYZ</i> содержит окружности <i>w</i><sub>1</sub> и <i>w</i><sub>2</sub>. Докажите, что центры окружностей, вписанных в треугольники <i>XYZ</i>, лежат...
Дана окружность и точка<i> P </i>внутри нее, отличная от центра. Рассматриваются пары окружностей, касающиеся данной изнутри и друг друга в точке<i> P </i>. Найдите геометрическое место точек пересечения общих внешних касательных к этим окружностям.
Окружности σ<sub><i>B</i></sub>, σ<sub><i>C</i></sub> – вневписанные для треугольника <i>ABC</i> (касаются соответственно сторон <i>AC</i> и <i>AB</i> и продолжений двух других сторон). Окружность ω<sub><i>B</i></sub> симметрична σ<sub><i>B</i></sub> относительно середины стороны <i>AC</i>, окружность ω<sub><i>C</i></sub> симметрична σ<sub><i>C</i></sub> относительно середины стороны <i>AB</i>. Докажите, что прямая, проходящая через точки пересечения окружностей ω<sub><i>B</i></sub> и ω<sub><i>C</i></sub>, делит периметр треугольника <i>...
В выпуклом четырёхугольнике <i>ABCD</i> провели биссектрисы <i>l<sub>a</sub>, l<sub>b</sub>, l<sub>c</sub></i> и <i>l<sub>d</sub></i> внешних углов при вершинах <i>A, B, C</i> и <i>D</i> соответственно. Точки пересечения прямых <i>l<sub>a</sub></i> и <i>l<sub>b</sub>, l<sub>b</sub></i> и <i>l<sub>c</sub>, l<sub>c</sub></i> и <i>l<sub>d</sub>, l<sub>d</sub></i> и <i>l<sub>a</sub></i> обозначили через <i>K, L, M</i> и <i>N</i>. Известно, что три перпендикуляра, опущенных из точки <i>K</i> на <i...
Четырёхугольник <i> ABCD </i> описан около окружности ω. Продолжения сторон <i>AB</i> и <i>CD</i> пересекаются в точке <i>O</i>. Окружность ω<sub>1</sub> касается стороны <i>BC</i> в точке <i>K</i> и продолжений сторон <i>AB</i> и <i>CD</i>; окружность ω<sub>2</sub> касается стороны <i>AD</i> в точке <i>L</i> и продолжений сторон <i>AB</i> и <i>CD</i>. Известно, что точки <i>O, K</i> и <i>L</i> лежат на одной прямой. Докажите, что середины сторон <i>BC, AD</i> и центр окружности ω лежат на одной прямой.
Дано натуральное число $n$. Натуральное число $m$ назовём<i>удачным</i>, если найдутся $m$ последовательных натуральных чисел, сумма которых равна сумме $n$ следующих за ними натуральных чисел. Докажите, что количество удачных чисел нечётно.
Дана окружность $\omega_1$, а внутри неё — окружность $\omega_2$. Выбирают произвольную окружность $\omega_3$, которая касается двух предыдущих, причём оба касания внутренние. Точки касания соединяют отрезком, а через точку пересечения этого отрезка с окружностью $\omega_2$ проводят касательную к $\omega_2$ и получают хорду окружности $\omega_3$. Докажите, что концы всех таких хорд (полученных при всевозможных выборах окружности $\omega_3$) лежат на фиксированной окружности.<img height="250" src="/storage/problem-media/67495/problem_67495_img_2.png">
В равнобедренном треугольнике $ABC$ ($AB=AC$) проведена высота $AA_0$. Окружность $\gamma$ с центром в середине $AA_0$ касается прямых $AB$ и $AC$. Из точки $X$ прямой $BC$ проведены две касательные к $\gamma$. Докажите, что эти касательные высекают на прямых $AB$ и $AC$ равные отрезки.