Олимпиадные задачи по математике для 11 класса - сложность 2 с решениями
<i>Высотой</i> пятиугольника назовём отрезок перпендикуляра, опущенного из вершины на противоположную сторону, а <i>медианой</i> – отрезок, соединяющий вершину с серединой противоположной стороны. Известно, что в некотором пятиугольнике равны десять длин – длины всех высот и всех медиан. Докажите, что этот пятиугольник – правильный.
В треугольнике <i>ABC</i> точка <i>X</i> лежит на стороне <i>AB</i>, а точка <i>Y</i> – на стороне <i>BC</i>. Отрезки <i>AY</i> и <i>CX</i> пересекаются в точке <i>Z</i>. Известно, что <i>AY = CY</i> и
<i>AB = CZ</i>. Докажите, что точки <i>B, X, Z</i> и <i>Y</i> лежат на одной окружности.
Длины сторон треугольника <i>ABC</i> равны <i>a, b</i> и <i>c</i> (<i>AB = c, BC = a, CA = b</i> и <i>a < b < c</i>). На лучах <i>BC</i> и <i>AC</i> отмечены соответственно такие точки <i>B</i><sub>1</sub> и <i>A</i><sub>1</sub>, что <i>BB</i><sub>1</sub> = <i>AA</i><sub>1</sub> = <i>c</i>. На лучах <i>CA</i> и <i>BA</i> отмечены соответственно такие точки <i>C</i><sub>2</sub> и <i>B</i><sub>2</sub>, что <i>CC</i><sub>2</sub> = <i>BB</i><sub>2</sub> = <i>a</i&...
В пространстве проведено <i>n</i> плоскостей. Каждая пересекается ровно с 1999 другими. Найдите все <i>n</i>, при которых это возможно.
У Насти есть пять одинаковых с виду монет, среди которых три настоящие – весят одинаково – и две фальшивые: одна тяжелее настоящей, а вторая на столько же легче настоящей. Эксперт по просьбе Насти сделает на двухчашечных весах без гирь три взвешивания, которые она укажет, после чего сообщит Насте результаты. Может ли Настя выбрать взвешивания так, чтобы по их результатам гарантированно определить обе фальшивые монеты и указать, какая из них более тяжёлая, а какая более лёгкая?
В ряд лежат 100 внешне одинаковых монет. Среди них ровно 26 фальшивых, причём они лежат подряд. Настоящие монеты весят одинаково, фальшивые – не обязательно одинаково, но они легче настоящих. Как за одно взвешивание на двухчашечных весах без гирь найти хотя бы одну фальшивую монету?
Прямая касается окружности в точке <i>A</i>. На прямой выбрали точку <i>B</i> и повернули отрезок <i>AB</i> на некоторый угол вокруг центра окружности, получив отрезок <i>A'B'</i>. Докажите, что прямая, проходящая через точки касания <i>A</i> и <i>A'</i>, делит пополам отрезок <i>BB'</i>.
Многочлен <i>x</i>³ + <i>px</i>² + <i>qx + r</i> имеет на интервале (0, 2) три корня. Докажите, что – 2 < <i>p + q + r</i> < 0.
Клетки доски 9×9 раскрасили в шахматном порядке в чёрный и белый цвета (угловые клетки белые). Какое наименьшее число ладей нужно поставить на эту доску, чтобы все белые клетки оказались под боем этих ладей? (Под боем ладьи считаются все клетки строки и столбца, в которых находится ладья.)
У Пети есть <i>n</i>³ белых кубиков 1×1×1. Он хочет сложить из них куб <i>n</i>×<i>n</i>×<i>n</i>, снаружи полностью белый. Какое наименьшее число граней кубиков должен закрасить Вася, чтобы помешать Пете? Решите задачу при a) <i>n</i> = 3; б) <i>n</i> = 1000.
В некотором городе каждая улица идет либо с севера на юг, либо с востока на запад. Автомобилист совершил прогулку по этому городу, сделав ровно сто поворотов налево. Сколько поворотов направо он мог сделать при этом, если никакое место он не проезжал дважды и в конце вернулся назад?
В ящике лежат 100 шариков: белые, синие и красные. Известно, что если, не заглядывая в ящик, вытащить 26 шариков, то среди них обязательно найдутся 10 шариков одного цвета. Какое наименьшее число шариков нужно вытащить, не заглядывая в ящик, чтобы среди них наверняка нашлись 30 шариков одного цвета?