Олимпиадные задачи по математике для 7 класса - сложность 3 с решениями
Медиану <i>AA</i><sub>0</sub> треугольника <i>ABC</i> отложили от точки <i>A</i><sub>0</sub> перпендикулярно стороне <i>BC</i> во внешнюю сторону треугольника. Обозначим второй конец построенного отрезка через <i>A</i><sub>1</sub>. Аналогично строятся точки <i>B</i><sub>1</sub> и <i>C</i><sub>1</sub>. Найдите углы треугольника <i>A</i><sub>1</sub><i>B</i><sub>1</sub><i>C</i><sub>1</sub>, если углы треугольника <i>ABC</i> равны 30°, 30° и 120°.
Каждая деталь конструктора "Юный паяльщик" – это скобка в виде буквы П, состоящая из трёх единичных отрезков. Можно ли из деталей этого конструктора спаять полный проволочный каркас куба 2×2×2, разбитого на кубики 1×1×1? (Каркас состоит из 27 точек, соединённых единичными отрезками; любые две соседние точки должны быть соединены ровно одним проволочным отрезком.)
Какое наименьшее число сторон может иметь нечётноугольник (не обязательно выпуклый), который можно разрезать на параллелограммы?
На доске записано целое число. Его последняя цифра запоминается, затем стирается и, умноженная на 5, прибавляется к тому числу, что осталось на доске после стирания. Первоначально было записано число 7<sup>1998</sup>. Может ли после применения нескольких таких операций получиться число 1998<sup>7</sup>?
Прямоугольник <i>m</i>×<i>n</i> разрезан на уголки: <div align="center"><img src="/storage/problem-media/109583/problem_109583_img_2.gif"></div>Докажите, что разность между количеством уголков вида<i>a</i>и количеством уголков вида<i>b</i>делится на 3.
Дан параллелограмм <i>ABCD</i> (<i>AB < BC</i>). Докажите, что описанные окружности треугольников <i>APQ</i> для всевозможных точек <i>P</i> и <i>Q</i>, выбранных на сторонах <i>BC</i> и <i>CD</i> соответственно так, что <i>CP = CQ</i>, имеют общую точку, отличную от <i>A</i>.