Олимпиадные задачи по математике - сложность 1-2 с решениями

Натуральные числа <i>d</i> и  <i>d' > d</i>  – делители натурального числа <i>n</i>. Докажите, что  <i>d' > d</i> + ^<i>d</i>²/_<i>n</i>.

Даны десять положительных чисел, каждые два из которых различны. Докажите, что среди них найдутся либо три числа, произведение которых больше произведения каких-нибудь двух из оставшихся, либо три числа, произведение которых больше произведения каких-нибудь четырёх из оставшихся.

Числа от 1 до 10 разбили на две группы так, что произведение чисел в первой группе нацело делится на произведение чисел во второй.

Какое наименьшее значение может быть у частного от деления первого произведения на второе?

Каких чисел больше среди натуральных чисел от 1 до 1000000 включительно: представимых в виде суммы точного квадрата и точного куба или не представимых в таком виде?

Докажите, что для натуральных чисел <i>k, m</i> и <i>n</i> справедливо неравенство   [<i>k, m</i>][<i>m, n</i>][<i>n, k</i>] ≥ [<i>k, m, n</i>]².

Саша записывает числа 1, 2, 3, 4, 5 в каком-нибудь порядке, расставляет знаки арифметических операций «$+$», «$-$», «$\times$» и скобки и смотрит на результат полученного выражения. Например, он может получить число 8 с помощью выражения $(4 - 3) \times (2 + 5) + 1$. Может ли он получить число 123? Формировать числа из нескольких других нельзя (например, из чисел 1 и 2 нельзя составить число 12).

На координатной плоскости нарисованы графики двух приведённых квадратных трёхчленов и две непараллельные прямые <i>l</i>₁ и <i>l</i>₂. Известно, что отрезки, высекаемые графиками на <i>l</i>₁, равны, и отрезки, высекаемые графиками на <i>l</i>₂, также равны. Докажите, что графики трёхчленов совпадают.