Олимпиадные задачи из источника «6 (2013 год)» для 2-8 класса - сложность 1-4 с решениями

В Анчурии готовятся президентские выборы, в которых хочет победить президент Мирафлорес. Ровно половина многочисленных избирателей поддерживает Мирафлореса, а другая половина – Дика Малони. Мирафлорес тоже является избирателем. По закону он имеет право поделить всех избирателей на два избирательных округа по своему усмотрению. В каждом из округов голосование проводится следующим образом: каждый избиратель отмечает на бюллетене имя своего кандидата; все бюллетени помещаются в урну. Затем из урны достаётся один случайный бюллетень, и тот, чьё имя на нём отмечено, победит в этом округе. Кандидат побеждает на выборах, только если победит в обоих округах. Если победитель не выявился, назначается следующий тур голосования по тем же правилам. Как Мирафлорес должен поделить избирателей, чтобы макс...

Найдите вероятность того, что орёл выпадет чётное число раз, в эксперименте, в котором:

  а) симметричную монету бросают <i>n</i> раз;

  б) <i>n</i> раз бросают монету, у которой вероятность выпадения орла при одном бросании равна <i>p</i>  (0 < <i>p</i> < 1).

Каждый день пёс Патрик сгрызает одну тапочку из имеющегося дома запаса. Строго с вероятностью 0,5 Патрик хочет сгрызть левую тапочку и с вероятностью 0,5 – правую. Если желаемой тапочки нет, Патрик расстраивается. Сколько пар одинаковых тапочек нужно купить, чтобы с вероятностью не меньше чем 0,8 Патрик не расстраивался целую неделю (7 дней)?

Будем считать, что рождение девочки и мальчика равновероятны. Известно, что в некоторой семье двое детей.

  а) Какова вероятность того, что из них один мальчик и одна девочка?

  б) Дополнительно известно, что один из детей – мальчик. Какова теперь вероятность того, что в семье один мальчик и одна девочка?

  в) Дополнительно известно, что мальчик родился в понедельник. Какова теперь вероятность того, что в семье один мальчик и одна девочка?

Квадрат разбит на треугольники (см. рисунок). Сколько существует способов закрасить ровно треть квадрата? Маленькие треугольники нельзя красить частично. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/65346/problem_65346_img_2.png"></div>

Точка выходит из начала координат на прямой и делает <i>a</i> шагов на единицу вправо, <i>b</i> шагов на единицу влево в каком-то порядке, причём  <i>a > b</i>.  Размахом блуждания точки назовём разность между наибольшей и наименьшей координатами точки за всё время блуждания.

  а) Найдите наибольший возможный размах блуждания.

  б) Найдите наименьший возможный размах.

  в) Сколько существует различных последовательностей движения точки, при которых размах блуждания будет наибольшим возможным?

В кабинете министров Анчурии 100 министров. Среди них есть жулики и честные министры. Известно, что из любых десяти министров по крайней мере один министр – жулик. Какое наименьшее число министров-жуликов может быть в кабинете?