Олимпиадные задачи из источника «5 (2012 год)» для 4-8 класса - сложность 2-5 с решениями

В Анчурии проходит единый государственный экзамен. Вероятность угадать верный ответ на каждый вопрос экзамена равна 0,25. В 2011 году, чтобы получить аттестат, нужно было ответить верно на три вопроса из 20. В 2012 году Управление школ Анчурии решило, что три вопроса это мало. Теперь нужно верно ответить на шесть вопросов из 40. Спрашивается, если ничего не знать, а просто угадывать ответы, в каком году вероятность получить анчурийский аттестат выше – в 2011 или в 2012?

Петя и ещё 9 человек играют в такую игру: каждый бросает игральную кость. Игрок получает приз, если он выбросил число очков, которое не удалось выбросить никому больше.

  а) Какова вероятность того, что Петя получит приз?

  б) Какова вероятность того, что хоть кто-то получит приз?

Из 27 игральных кубиков сложен куб.

  а) Найдите вероятность того, что на поверхности куба оказалось ровно 25 шестёрок.

  б) Найдите вероятность того, что на поверхности куба оказалась хотя бы одна единица.

  в) Найдите математическое ожидание числа шестёрок, смотрящих наружу.

  г) Найдите математическое ожидание суммы чисел, которые оказались на поверхности куба.

  д) Найдите математическое ожидание случайной величины: "Число различных цифр, оказавшихся на поверхности куба".

Петр Иванович, еще 49 мужчин и 50 женщин в случайном порядке рассаживаются вокруг круглого стола. Назовём мужчину довольным, если рядом с ним сидит женщина. Найдите:

  а) вероятность того, что Петр Иванович доволен;

  б) математическое ожидание числа довольных мужчин.

У Алисы в кармане шесть волшебных пирожков – два увеличивающих (съешь – вырастешь), а остальные уменьшающие (съешь – уменьшишься). Когда Алиса встретила Мэри Энн, она, не глядя, вынула из кармана три пирожка и отдала их Мэри. Найдите вероятность того, что у одной из девочек нет ни одного увеличивающего пирожка.

В наборе  –5, –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5  замените одно число двумя другими целыми числами так, чтобы дисперсия набора и его среднее не изменились.

2012 правильных игральных костей (кубиков) составили в ряд таким образом, что каждые две соседние кости прилегают друг другу одинаковыми гранями (принцип домино). В остальном положение костей случайное. Найдите сумму очков, которые оказались на поверхности получившейся фигуры.