Олимпиадные задачи из источника «3 (2010 год)» для 10 класса - сложность 2 с решениями

Верхняя сторона бумажного квадрата белая, а нижняя – красная. В квадрате случайным образом выбирается точка <i>F</i>. Затем квадрат сгибают так, чтобы одна случайно выбранная вершина наложилась на точку <i>F</i>. Найдите математическое ожидание числа сторон появившегося красного многоугольника. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/65305/problem_65305_img_2.png"></div>

Длина гипотенузы прямоугольного треугольника равна 3.

  а) Рассеянный Учёный вычислил дисперсию длин сторон этого треугольника и нашёл, что она равняется 2. Не ошибся ли он в расчетах?

  б) Какое наименьшее стандартное отклонение сторон может иметь такой прямоугольный треугольник? Какие у него при этом катеты?

Служить на подводной лодке может матрос, рост которого не превышает 168 см. Есть четыре команды А, Б, В и Г. Все матросы в этих командах хотят служить на подводной лодке и прошли строгий отбор. Остался последний отбор – по росту.

  В команде А средний рост матросов равен 166 см.

  В команде Б медиана роста матросов равна 167 см.

  В команде В самый высокий матрос имеет рост 169 см.

  В команде Г мода роста матросов равна 167 см.

В какой команде по крайней мере половина матросов точно может служить на подводной лодке?

В финал конкурса спектаклей к 8 Марта вышли два спектакля. В первом играли <i>n</i> учеников 5 класса А, а во втором – <i>n</i> учеников 5 класса Б. На спектакле присутствовали 2<i>n</i> мам всех 2<i>n</i> учеников. Лучший спектакль выбирается голосованием мам. Известно, что ровно половина мам честно голосует за лучший спектакль, а другая половина в любом случае голосует за спектакль, в котором участвует её ребенок.

  а) Найдите вероятность того, что лучший спектакль победит с перевесом голосов.  б) Тот же вопрос, если в финал вышло больше двух спектаклей.

В финал конкурса спектаклей к 8 Марта вышли два спектакля. В первом играли <i>n</i> учеников 5 класса А, а во втором – <i>n</i> учеников 5 класса Б. На спектакле присутствовали 2<i>n</i> мам всех 2<i>n</i> учеников. Лучший спектакль выбирается голосованием мам. Известно, что каждая мама с вероятностью ½ голосует за лучший спектакль и с вероятностью ½ – за спектакль, в котором участвует её ребенок.

  а) Найдите вероятность того, что лучший спектакль победит с перевесом голосов.

  б) Тот же вопрос, если в финал вышло больше двух классов.

На новогоднюю ёлку повесили 100 лампочек в ряд. Затем лампочки стали переключаться по следующему алгоритму: зажглись все, через секунду погасла каждая вторая лампочка, ещё через секунду каждая третья лампочка переключилась: если горела, то погасла и наоборот. Через секунду каждая четвёртая лампочка переключилась, ещё через секунду – каждая пятая и так далее. Через 100 секунд всё закончилось. Найдите вероятность того, что случайно выбранная после этого лампочка горит (лампочки не перегорают и не бьются).

На клавиатуре калькулятора есть цифры от 0 до 9 и знаки двух действий (см. рисунок). Вначале на дисплее написано число 0. Можно нажимать любые клавиши. Калькулятор выполняет действия в последовательности нажатий. Если знак действия нажать подряд несколько раз, то калькулятор запомнит только последнее нажатие.

  а) Кнопка со знаком умножения сломалась и не работает. Рассеянный Учёный нажал несколько кнопок в случайной последовательности. Какой результат получившейся цепочки действий более вероятен – чётное число или нечётное?

  б) Решите предыдущую задачу, если кнопку со знаком умножения починили. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/65296/problem_65296_img_2.png"></div>